Para dos conjuntos cualesquiera, $A - B = B - A$ implica $A = B$

Question

¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación?

Para dos conjuntos cualesquiera $A$ y $B$ : Si $A - B = B - A$ entonces $A = B$ .

Si es cierto, demuéstrelo, de lo contrario proporcione un contraejemplo.

Soy incapaz de dar un ejemplo contrario. Creo que la afirmación es cierta, pero ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Si $A \setminus B = B \setminus A$ entonces

$A=A \setminus B \cup (A\cap B)= B \setminus A \cup (B \cap A) = B$ .

Answer 2

Si $A-B=B-A $ entonces para cualquier $x\in A-B=B-A $ nosotros $x\in A;x\in B; x\not \in A; x\not \in B $ . Es una contradicción tan $A-B=B-A $ está vacía.

Por lo tanto, no hay elementos en $A $ que no están en $B$ . En otras palabras $A $ es un subconjunto de $B $ . Asimismo, no hay elementos de $B $ que están en $A $ . Así que $B $ es un subconjunto de $A $ .

Así que $A=B $ .

Answer 3

Utilicemos un poco de álgebra booleana, para mostrar un punto de vista diferente.

Dejemos que $C=A\cup B$ para un subconjunto $X$ de $C$ , denotan $X^c=C\setminus X$ por lo tanto $$ A\setminus B=A\cap B^c,\qquad B\setminus A=B\cap A^c=A^c\cap B $$ Entonces \begin{align} A&=A\cap C && \text{because $A\subseteq C$} \\ &=A\cap (B\cup B^c) && \text{because $C=B\cup B^c$} \\ &=(A\cap B)\cup(A\cap B^c) && \text{distributivity} \\ &=(A\cap B)\cup(A^c\cap B) && \text{hypothesis} \\ &=(A\cup A^c)\cap B && \text{distributivity} \\ &=C\cap B && \text{because $A\cup A^c=C$} \\ &=B && \text{because $B\subseteq C$} \end{align}

También tiene \begin{align} A\cap B^c &=(A\cap B^c)\cap(B\cap A^c) && \text{hypothesis} \\ &=A\cap(B^c\cap(B\cap A^c)) && \text{associativity} \\ &=A\cap((B^c\cap B)\cap A^c) && \text{associativity} \\ &=A\cap(\emptyset\cap A^c) && \text{because $B\cap B^c=\emptyset$} \\ &=A\cap\emptyset \\ &=\emptyset \end{align}