La topología del espacio de fase

Question

Contexto:

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De Liouville del teorema de integrabilidad sabemos que:

Si un sistema con $n$ grados de libertad exhibe, al menos, $n$ a nivel mundial define las integrales de movimiento (es decir, la primera de las integrales), donde todos conservados en las variables de Poisson involución uno con el otro, entonces el Hamiltoniano del sistema es de Liouville integrable.

Más formalmente: (desde aquí)

en el caso de que el espacio de fase M es compacto, casi todas las órbitas son n-dimensional tori $T^n$ (Liouville tori), y la clásica de Liouville el teorema dice que el Hamiltoniano acción tiene una muy simple estándar la forma en que algunos simpléctica coordenadas (existente en un barrio de cada uno de Liouville toro). Así, la estructura topológica de un integrable Hamiltoniano del sistema es muy claro en un barrio de una de Liouville torus.

Yo entiendo muy poco de la anterior, que me lleva a mi pregunta:

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Pregunta:

• Es allí una manera intuitiva de ver por qué la estructura topológica del espacio de fase de nuestro sistema es toro-como cuando el Hamiltoniano del sistema es integrable?
• Si no hay intuición detrás, entonces puede que alguien tal vez simplificar la cita anterior?

Answer 1

voy a probar este.

Un Hamiltoniano del sistema es (totalmente) integrable, lo que significa que hay $n$ ($n=$ número de dimensiones) independiente de las integrales de movimiento (tenga en cuenta que completamente integrable sistemas hamiltonianos son muy raros, casi todos los sistemas hamiltonianos no son completamente integrable).

Lo que esto dice en esencia (y de manera intuitiva) es que el hamiltoniano del sistema de dimensión $n$ se puede descomponer en un producto cartesiano de un conjunto de $n$ independiente sub-sistemas (e.g en acción-ángulo de la representación), que son mínimamente junto a cada uno de los otros.

Esta de-la composición en un producto cartesiano de a $n$ sistemas independientes (cada uno de los cuales se ha acotado la energía como la de todo el sistema se ha acotado la energía), significa topológicamente es el $n$-dimensiones toro $S^1 \times S^1 \times ... \times S^1$ ($n$ factores) que es compacto (sistema delimitado es topológicamente compacto).

nota $S^1$, literalmente significa topológico círculo o topológico $1$-dimensiones de la esfera. Lo que esto significa, es que representa (ya que esta es la topología y la geometría no) un compacto, limitada 1 dimensiones del espacio (parámetro 1-espacio). Así que un hamiltoniano del sistema con $n$ parámetros independientes (integrables) es (o debería ser, local) topologicaly el producto cartesiano de a $n$ (resumen) $S^1$ espacios ($1$ para cada parámetro/dimensión)

Cada una de las $S^1$ espacio representa un armónico simple oscilator (un simple sistema periódico, o en otras palabras, un sistema que se mueve en un círculo, ver la conexión con $S^1$ espacios).

Cuando un (completamente) integrable hamiltoniano del sistema es de-compuesto en $n$ indepenent sub-sistemas, en esencia, esto significa que (a nivel local, en cada vecindad de un punto de la fase del sistema-espacio) puede ser linearised y representada como una pila de (independiente) armónica oscilators (pilas de $S^1$ espacios). Este es el básico teorema de Liouville-Arnold en la dinámica hamiltoniana

Para un ejemplo simple de un 3-dimensional (en realidad 2-dimensional, ya que el espacio de configuración es la superficie de una esfera) hamiltoniano del sistema que es completamente integrable, ver el péndulo esférico y análisis de los mismos

El péndulo esférico es de 2-dimensiones del sistema (por lo tanto el espacio de la fase es de 4 dimesnional) y tiene una segunda parte integral de movimiento de la flexión alrededor del eje vertical.

(un enlace en un análisis más avanzado en la dinámica de pendula).

En otras palabras, el todo es la suma de sus partes.

¿Cuál sería el hamiltoniano espacio de una (por ejemplo, $2$- dimensional) sistema de que las dimensiones no son independientes (no-integrable).

Esto significa que las dimensiones están correlacionadas y no puede ser de-formado en independiente sub-sistemas (i.e a $2$-dimensiones torus $S^1 \times S^1$), por lo que topológicamente es una $2$-dimensiones de la esfera ($S^2$).

En un $2$-dimensiones de la esfera de la $2$ dimensiones están correlacionadas y no puede ser plana (he.e no puede ser linearised y se asigna a un espacio plano de la misma dimensión, a diferencia de $2$-dimensiones toro, en otras palabras, tiene lo que se denomina como la curvatura intrínseca).

Elaborar un poco sobre esto.

Por supuesto, si uno ve la 2-dimensional toro como un objeto 3D (en efecto, esto significa incrustado en un plano 3D en el espacio euclidiano), tiene curvatura. Esto es referido como "externas", la curvatura derivados de la integración en un espacio 3D. Pero si uno ve la 2-dim toro como un 2-dimensiones de la superficie por su propia cuenta, que no tiene (cero) de la curvatura. Esto es referido como (intrínseca) curvatura (en el sentido de riemann).

Si uno toma la 2-dim toro y lo corta y lo desarrollan, uno se pone el 2-dimensiones del cilindro . Si uno corta la 2-dim cilindro y se desarrollan, se obtiene un 2-dimensiones de la superficie plana. Esto significa que el (intrínseco) de la curvatura de la 2-dim toro es cero y se puede mapear en un espacio plano de la misma dimensión.

Para el 2-dim esfera, esto no es posible. No hay manera de que se puede cortar y se asigna a una superficie plana de la misma dimensión. (Intrínseco) de la curvatura de la no-cero, y esto también es una medida de distancia de planitud (y también una medida de la dimensión de correlación). Un ejemplo es el de los mapas de la tierra (2-dimensional de la superficie esférica) en un plano de papel, uno puede ver que el mapa contiene las distorsiones, ya que no hay ninguna asignación de una esfera en una superficie plana.

Por otro lado, si uno toma un plano 2-dim superficie y se hace un límite periódica, se obtiene un 2-dim cilindro, si la hace el otro límite también periódica, uno se pone el 2-dim toro.

En general, las condiciones bajo las cuales cualquier hamiltoniano del sistema es (completamente) integrable es un problema muy difícil.

Todavía otra forma de ver esto es una analogía con la probabilidad de espacios. Considere la posibilidad de 2 espacios para eventos de 2 sistemas físicos que consta de 2 parámetros (digamos 2 monedas) $\Omega_{12}$$\Omega_{AB}$.

Cuando el sistema es integrable (he.e los parámetros son independientes, lo que significa $P(1|2) = P(1)$), el de espacio para eventos, $\Omega_{12}$ es el producto cartesiano de cada sub-espacio de $\Omega_1 \times \Omega_2$. Y cada uno de los resultados del sistema total es simplemente el producto de las probabilidades de cada sub-sistema.

Ahora considere la posibilidad de un segundo sistema donde las monedas están correlacionados, lo que significa $P(A|B) \ne P(A)$.

Este espacio $\Omega_{AB}$ no puede ser des-compone en 2 independientes sub-espacios $\Omega_A$, $\Omega_B$ como su producto cartesiano desde la sub-espacios no son independientes. Esto corresponde a un no-integrable Hamiltoniano del sistema (y topológico, $2$- d de la esfera).

El análogo de la independencia estadística de la probabilidad de eventos de espacios para sistemas hamiltonianos es exactamente la existencia y funcional (más correctamente de poisson) la independencia de la cantidad apropiada de las integrales de movimiento (completo integrabilidad).

En otras palabras, para un no-integrable sistema el todo es más que la suma de sus partes.

Espero que esto sea útil para usted

PS. También puede ser que desee comprobar: Holonomic Sistema, No holonomic Sistema, Integrable Sistema de

Answer 2

Liouville Arnol d teorema de estado que dado un integrable Hamiltoniano del sistema y se denota con $$M_a'=\{(q,p)\in\Gamma:f_i(q,p,t)=a_i\}$$ the connected component of the level sets of all of the first integral, then the restriction of the foundamental form on $M_a'$ $$p\cdot dq\Big|_{M_a'}$$ equal $dS(q,a)$ where $S$ is the generating functional of the canonical transformation$^\dagger$ $\mathscr{C}:(q,p)\mapsto(b=\partial_aS,a)$, i.e. that transformation such that the transformed hamiltonian depend on new momenta only $$H\circ\mathscr{C}^{-1}(b,a)=H(q,\partial_qS)=K(a).$$ Thus $\mathscr{C}$ maps your initial system into one for which the dynamic is really easy in fact from the new hamiltonian one get $$\begin{array}{ccc}\dot{b}&=&\partial_aK\\\dot{a}&=&-\partial_bK=0.\end{array}$$ If $M_a'$ is compact then our dynamical variables $(b,a)$ can be thought as an angle $\varphi$ on a torus labelled by a constant action $I$. In this case the solutions of the above equations are $$\begin{array}{cccc}\varphi(t)&=&\varphi_0+\partial_IKt&=\varphi_0+\omega_0t\\I(t)&=&I_0&=const.\end{array}$$ $\dagger$ Una manera de definir una transformación canónica del "viejo" sistema de $(q,p,H,t)$ a de la "nueva" $(Q,P,K,T)$, es pedir que $\mathscr{C}$ preserva la Poicare-Cartan 1-formulario $$dA=p\cdot dq-Hdt$$ in the sense that $A_{edad}=cA_{nuevo}+\Delta F(q,q,t)$. From this easily follow that $\partial_qF=p$, $\partial_QF=-P$ and $\partial_tF=K-H$, then performing the Legendre transformation of $F$ one obtain $S=F+P\cdot P$ and the last set of equations became $\partial_qS=p$, $\partial_PS=P$ and $\partial_tS=K-H$. La última ecuación es la llamada de Hamilton-Jacobi ecuación.