Si se quitan dos números consecutivos de la serie $1+2+3+\ldots+n$ la media se convierte en $99/4$. Encontrar los dos números.

Question

El promedio inicial se $\frac{n+1}{2}$. Si los dos números son $k$$k+1$, a continuación, la nueva media se $\frac{n(n+1)/2-(2k+1)}{n-2}$. Yo no podía entender más a pesar de que yo tengo la relación entre el $n$ $k$ en muchas maneras diferentes.

Si la pregunta no es clara, aquí es un ejemplo para explicarlo. Si $n=10$, el promedio inicial será $5\cdot 5$ {$(1+2+\cdots + 10)/10$} Ahora bien, si dos números consecutivos tales como $2,3$ o $8,9$ se quitan de esta serie, el nuevo promedio de los cambios, y este nuevo promedio ha sido dado para ser $99/4$, sin embargo tampoco sabemos el valor de $n$, así que la pregunta parece ser bastante difícil.

Answer 1

Como en Claude Leibovici la respuesta, la eliminación de $k+(k+1)$ $1+2+\cdots+n$ dejar un promedio de $99/4$ implica que, después de un poco de álgebra, que

$$k={2n^2-97n+194\over8}$$

es un número entero entre el$1$$n-1$. Es fácil ver que $k$ ser un entero implica $n\equiv2$ mod $8$. Si escribimos $n=8m+2$ ( $m\gt0$ , ya que el $n=2$ obviamente no es posible), nos encontramos, después de un poco más de álgebra, que $k=16m^2-89m+1$. Las restricciones de la desigualdad son así ahora

$$1\le16m^2-89m+1\le8m+1$$

o

$$89\le16m\le97$$

Es evidente que hay sólo un número entero solución: $m=6$, correspondiente a$n=50$$k=43$.

Answer 2

La nueva media será $$\frac{\frac{n(n+1)}2-(2k+1)}{n-2}=\frac {99}4$$ Solving for $k $ gives $$k=\frac{2 n^2-97 n+194}{8} $% $# %n de #%.

Resolución de $ which must be a positive integer lower or equal to $ da $$n = \frac{97+\sqrt{64 k + 7857}} {4} $ que debe ser un número entero.

Ahora considerar el % de casos extremos $n$y $k=1$; Esto da a límites muy estrechos para $k=n-1$. De álgebra, $n$ y $k=1\to n=\frac{93}2$. En el peor de los casos, sólo cuatro valores de $k=n-1\to n=\frac{101}2$ tendría que ser probado.

¿Esto nos ayuda?

Answer 3

Este enfoque considera que la nueva media se encuentra dentro de $\pm 1$ de la media original. De este modo se reduce posibilidades, y la solución se puede encontrar fácilmente por la eliminación.

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Después de la eliminación de los dos números, el nuevo promedio, $a$, está dada por $$\begin{align} \frac {99}4=a&=\frac{\frac{n(n+1)}2-(2k+1)}{n-2}\\ &=\underbrace{\frac {n+1}2}_{\text{original average, %#%#%}}+ \underbrace{\frac {n-2k}{n-2}}_{\in [-1,1] \text{ for } 1\le k\le n-1} \end{align}$$

Por lo tanto $a_0$ se encuentra dentro de $a$ de la media original $\pm 1$ antes de la extracción, es decir, $a_0$$

Como $$a_0-1\;\le\; a=\frac {99}4=24.75\;\le\; a_0+1$, sólo puede ser un número entero o un número entero y una mitad, por lo tanto $a_0=\frac {n+1}2$.

$$\begin{array} {lrrrr} \hline{a_0(n)=\frac{n+1}2} &24&24.5&25&25.5\\ n &47 &48 &49 &\color{red}{50}\\ n-2 &45 &46 &47 &\boxed{48} \\ a-a_0(n)=\frac {n-2k}{n-2}&\frac 34&\frac 14&-\frac14&-\frac34\\ \hline \end{array}$$ También, la suma de los números restantes $24\le a_0\le 25.5$ tiene que ser entero, por lo $\frac {99}4 (n-2)$ debe un múltiplo de $(n-2)$, el único candidato para el cual se $4$.

Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $48$

Answer 4

Tenemos, de que la suma de $n+1$ términos, excluyendo el $m$-th y $m+1$-th, es: $$ \begin{gathered} S(n + 1,m) = \sum\limits_{1\, \leqslant \,k\, \leqslant \,m - 1} k + \sum\limits_{m + 2\, \leqslant \,k\, \leqslant \,n + 1} k = \sum\limits_{1\, \leqslant \,k\, \leqslant \,m - 1} k + \sum\limits_{1\, \leqslant \,k\, \leqslant \,n - m} {\left( {k + m + 1} \right)} = \hfill \\ = \left( \begin{gathered} m \\ 2 \\ \end{reunieron} \right) + \left( {m + 1} \right)\left( {n - m} \right) + \left( \begin{gathered} n + 1 - m \\ 2 \\ \end{reunieron} \right) = \hfill \\ = \frac{1} {2}m\left( {m - 1} \right) + \left( {m + 1} \right)\left( {n - m} \right) + \frac{1} {2}\left( {n + 1 - m} \right)\left( {n - m} \right) = \hfill \\ = \frac{1} {2}\left( {m\left( {n - 1} \right) + \left( {n + 3} \right)\left( {n - m} \right)} \right) = \hfill \\ = \frac{1} {2}\left( {n\left( {n - 1} \right) + 4\left( {n - m} \right)} \right) = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}} {2} - 2m \hfill \\ \end{se reunieron} $$ Así tendremos: $$ \begin{gathered} \frac{{S(n + 1,m)}} {{n - 1}} = \frac{{99}} {4}\quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{gathered} n - 1 = 4\,q \hfill \\ S(n + 1,m) = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}} {2} - 2m = 99\;q \hfill \\ \end{reunieron} \right.\quad \Rightarrow \hfill \\ \Rightarrow \quad \left\{ \begin{gathered} 1 \leqslant m \leqslant n = 4\,q + 1 \hfill \\ n\left( {n + 3} \right) = 198\;q + 4m \hfill \\ \end{reunieron} \right. \hfill \\ \end{se reunieron} $$ El último se da: $$ \begin{gathered} 4 \leqslant 4\left( {4q + 1} \right)\left( {q + 1} \right) - 198\;q = 4m \leqslant 4\left( {4\,q + 1} \right) \hfill \\ 0 \leqslant \left( {4q + 1} \right)\left( {q + 1} \right) - \frac{{198}} {4}\;q - 1 \leqslant 4\,q \hfill \\ 0 \leqslant q^{\,2} - \frac{{178}} {{16}}\;q \leqslant \,q \hfill \\ 0 \leqslant q - \frac{{178}} {{16}} \leqslant \,1 \hfill \\ \end{reunieron} $$ es decir, $$ \frac{{178}} {{16}} \leqslant q \leqslant \,\frac{{194}} {{16}}\quad \Rightarrow \quad \left\lceil {\frac{{178}} {{16}}} \right\rceil \leqslant q \leqslant \,\left\lfloor {10 + \frac{{34}} {{16}}} \right\rfloor \quad \Rightarrow \quad 12 \leqslant q \leqslant 12 $$ En conclusión, tenemos que: $$ \left\{ \begin{gathered} q = 12 \hfill \\ n = 4\,q + 1 = 49 \hfill \\ m = \frac{1} {4}\left( {n\left( {n + 3} \right) - 198\;q} \right) = 43 \hfill \\ \end{reunieron} \right. $$ que en realidad da: $$ \frac{{S(n + 1,m)}} {{n - 1}} = \frac{{\frac{{n\left( {n + 3} \right)}} {2} - 2m}} {{n - 1}} = \frac{{\frac{{49 \cdot 52}} {2} - 86}} {{48}} = \frac{{1188}} {{48}} = \frac{{99}} {4} $$

Answer 5

Este es un enfoque que conjetura calculado. Será el promedio de $ n $ enteros consecutivos. $ (n+1)/2$. $99/4$ es un poco menos de $ 25$. Así puede tomarse $n $ $ 50$. No $ 49,$ porque dos menos del % no es divisible por $ 49$ $47 $, $4$. Suma de números de #% de %#% tan primera será $ 50 $. será $ 1275$ $99/4 * 48$ % aquí $ 1188.$es divisible por $48 $ es la razón llevó a $4$. $ n=50. $ será $ 1275-1188$. dos números consecutivos da $ 87$ como la suma están $87$. Espero que esto sea de ayuda