Mostrar que cada primer $p$ $\textbf Z[i]$ divide algunos primer racional

Question

Mostrar que cada primer $p$ $\textbf Z[i]$ divide algunos primer racional.

Si $p \equiv 1 \pmod 4$ que es una privilegiada, $p$ puede expresarse como la suma de dos cuadrados, como, $p = a^2 + b^2$ donde $a + bi$ y $a - bi$ son primos racionales y $p$ divide uno de ellos.

¿Qué pasa si $p \equiv 3 \pmod 4$, que es primer?

Answer 1

No entiendo lo que escribió tiene que ver con tu pregunta. Pero vamos a $\omega$ ser un primer elemento en $\mathbb{Z}[i]$. A continuación, el ideal de $\mathfrak p$ generado por $\omega$ es un primer ideal de $\mathbb{Z}[i]$. Por lo tanto $\mathfrak p \cap \mathbb{Z}$ es un primer ideal de $\mathbb{Z}$. Por lo tanto, $\mathfrak p \cap \mathbb{Z} = 0$ o $\mathfrak p = p\mathbb{Z}$ para algunos racional primer número $p$.

El primer caso no puede ocurrir, ya que $\omega$ es la raíz de un polinomio irreducible en $\mathbb{Q}[X]$ con coeficientes en $\mathbb{Z}$, cuyo término constante es cero y se encuentra en $\mathbb{Z} \cap \mathfrak p$.

Usted es forzado en el segundo caso, en el que tienes $p \in \mathfrak p = (\omega)$, lo que indica que $\omega$ divide $p$$\mathbb{Z}[i]$.

Answer 2

No podríamos estar todos en la misma página en lo racional prime es. Tomar un número como $7$, que es un número primo y un número racional, derecho? Un número como $\frac 7 2$ es racional, pero no es primo, no en $\mathbb Z$, de todos modos (no incluso en $\mathbb Z$ a empezar).

Un número como $7 + 2 \sqrt 3$ definitivamente no es racional, pero es un primer en $\mathbb Z[\sqrt 3]$. Ahora, ¿qué acerca de un número como $7 + 2i$? Es, definitivamente, el primer en $\mathbb Z[i]$, pero, ¿es racional? Algunas personas dicen que sí, otros dicen que no, que el mero hecho de que es un número complejo con un valor distinto de cero parte imaginaria resueltamente excluye la de los racionales, independientemente del hecho de que la parte imaginaria se multiplica por $-i$ (o $i$, para el caso) es un racional número real.

Pero en lugar de entrar en esa lata de gusanos, vamos a decir que un número debe ser puramente real antes de que podamos determinar si es racional o no. Por lo tanto, el aprovechamiento racional de los números primos son $$\ldots, -13, -11, -7, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$$

However, some of these are actually composite in $\mathbb Z[i]$. Like $13$, for example: since $2^2 + 3^2 = 13$, then $(2 - 3i)(2 + 3i) = 13$. Then $2 + 3i$ is a divisor of $13$, which we can verify in Wolfram Alpha thus: 13/(2 + 3i) $$\frac{13}{2 + 3i} = 2 - 3i.$$ The same (being a divisor of $13$) is also true of $2 - 3i$.

Now take a number like $11$. There is no way to solve $x^2 + y^2 = 11$, at least not in integers of $\mathbb Z$. So the only divisors of $11$ are $-11, -1, -yo, yo, 1$ and... $11$ itself. A number trivially divides itself. So if $p \in \mathbb Z$ is a prime of the form $4k + 3$, lo que significa que es un racional prime que se divide.