¿Cuál es la entropía de un sistema cuando su volumen tiende a cero?

Question

Digamos que un sistema cerrado tiene $n$ dimensiones y tiene forma de $n$ -bola con un radio de 1, su volumen será

$$\frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$$

que tiende a 0 pero que no es vacío cuando n tiende a infinito.

Puede que mi pregunta no tenga ningún sentido, y que mi comprensión de la entropía empeore aún más las cosas, pero si es sensata, ¿qué será de la entropía de un sistema así?

Si mi primera exposición realmente no tiene sentido, la reformularía de la siguiente manera: digamos que una fuerza insondable comprime un sistema cerrado de tal manera que su volumen disminuye hacia cero, ¿qué será de la entropía de dicho sistema? (Me doy cuenta de que quizá no sea el mismo problema/pregunta)

Answer 1

Permítanme comenzar con la segunda pregunta en la que no se cambia la dimensionalidad, sólo el volumen.

La entropía nunca disminuye cuando se comprime el gas. La compresión significa que las paredes se mueven en su mayoría contra las moléculas que chocan, lo que significa que retroceden a mayor velocidad. La energía cinética de las moléculas aumenta, por lo que ocupan un mayor volumen en el espacio de momento (en lenguaje macroscópico, un gas se calienta mientras se comprime), lo que al menos compensa la disminución del volumen en el espacio de posición.

La otra respuesta es incorrecta. Las segundas leyes dicen no sólo que los sistemas exhiben cierta actividad que indica que no les gusta una entropía decreciente; sino que dice que, sea cual sea la actividad que muestren los sistemas físicos, nunca conseguirán una disminución macroscópica de la entropía. Es simplemente imposible. Comprimir el gas en un 70% es posible, disminuir la entropía en una cantidad macroscópica no lo es.

Ahora, la primera pregunta interesante. Si pudieras cambiar la dimensionalidad efectiva, seguiría siendo cierto en cualquier teoría consistente que la entropía no puede disminuir. Así que si tu teoría fuera capaz de añadir dimensiones de esa manera mientras mantiene una molécula en una esfera de la dimensión creciente, la segunda ley de la termodinámica implicaría que tal adición de dimensiones no es físicamente posible - sería otro ejemplo más sofisticado de la máquina de movimiento perpetuo del segundo tipo.

En cierto sentido, es cierto que la segunda ley anima a los sistemas físicos a perder las dimensiones (una forma de aumentar la entropía, dada su fórmula para los volúmenes esféricos de mayor dimensión). Cuando la energía se disipa, la energía por grado de libertad baja efectivamente, lo que nos permite utilizar una descripción "efectiva" de menor dimensión. Por ejemplo, un gas lleno de partículas Kaluza-Klein que sondean (se mueven en) dimensiones extra tenderá a disipar su energía y a decaer en muchos cuantos de menor energía que viven efectivamente sólo en 3+1 dimensiones.

Answer 2

La entropía disminuye a cero eventualmente. Es cada vez más difícil hacerlo a medida que se mantiene fijo el número de partículas. Dicho de otro modo, al sistema no le gusta que su entropía disminuya y, en consecuencia, la presión aumenta.

Para responder a la versión editada, si la temperatura se mantiene fija, un sistema real se cristalizará y la presión divergirá en el empaquetamiento cercano. En este caso, la entropía no es más que el número de maneras de ordenar las partículas en el cristal, pero eso es independiente del volumen. Si se quiere ser consistente con la tercera ley de la termodinámica al mismo tiempo (esta estructura de empaquetamiento cerrado es la misma que se obtendría cuando T es cero) entonces significa que la entropía es el estado de referencia y la entropía termodinámica real es cero.

Si sólo se considerara un gas ideal clásico entonces, la función de partición se multiplica por el volumen accesible. Esto implica que la entropía va como el logaritmo del volumen que se convierte en -infinito cuando V tiende a cero. Sin embargo, esto es más un artefacto del modelo que otra cosa.