El doble de Auslander conmuta con extensiones del anillo

Question

Supongamos que $R$ noetheriano y $M$ un finitamente generados $R$-módulo. Si tienes una presentación proyectiva de $M$: $P_1\rightarrow P_0\rightarrow M\rightarrow 0$, luego por dualizing te obtener la siguiente secuencia exacta: $0\rightarrow M^*\rightarrow P_0^*\rightarrow P_1^*\rightarrow D_R(M)\rightarrow 0$, $D_R(M)$ se llama el auslander doble de $M$, por supuesto no es único hasta isomorfismo pero puede demostrarse que es única hasta proyectivas equivalencia.

Ahora toma una extensión de anillos $R\rightarrow R^\prime$. ¿Cómo puedo probar que $D_{R^\prime}(M\otimes R^\prime)$ es proyectivo equivalente a $D_R(M)\otimes R^\prime$?

Answer 1

Caso General:

Podemos suponer que la $P_{i}$ son finitely generado debido a la $M$ es e $R$ es Noetherian.

De $\mathrm{Hom}(R^{n},R)\cong R^{n}$ podemos deducir que para finitely libres generados por el módulo de tomar dual conmuta con cualquier cambio de base. Además, el mismo sigue siendo cierto para finitely generado proyectiva módulos como: $\mathrm{Hom}(-,R)$ $-\otimes R'$ preservar la división exacta de las secuencias, y siempre hay un natural de morfismos $\mathrm{Hom}_{R}(N,R)\otimes R'\to \mathrm{Hom}_{R'}(N\otimes R',R')$.

Dicho esto, vamos a considerar un diagrama conmutativo: $$ \begin{matrix} P_{0}^{*}\otimes R' &\to & P_{1}^{*}\otimes R' & \to & D(M)\otimes R' & \to & 0\\ \downarrow \cong & & \downarrow \cong & & \downarrow & & \\ (P_{0}\otimes R')^{*} &\to & (P_{1}\otimes R')^{*} & \to & D(M\otimes R') & \to & 0\\ \end{de la matriz} $$ donde:

• la línea superior es exacto por la derecha-exactitud de producto tensor,

• la línea inferior es exacta, por la definición de $D(M\otimes R')$,

• mapas de $(P_{i}\otimes R')^{*}\to P_{i}^{*}\otimes R'$ son naturales isomorphisms desde arriba,

• de más a la derecha flecha vertical es un inducida por el mapa de cokernels.

Desde el dos indica flechas verticales son isomorphisms así es la tercera (esto puede ser visto como un caso especial de cinco lema, pero también se sigue inmediatamente de la característica universal de cokernel).

El primer intento (incompleta):

Advertencia: la prueba a continuación sólo funciona para anillo plano extensiones (lo que podría considerarse como un caso trivial).

Desde $R$ es noetherian $M$ es finitely presentado, y entonces usted puede tomar la $P_1, P_0$ a ser finitely generado (por lo tanto, del mismo modo finitely presentado). Pero para finitely presentado módulos de tomar dual desplazamientos con tv de cambio de base. Por lo tanto, multiplicando $0\to M^{*}\to P_{0}^{*}\to P_{1}^{*}\to D_{R}(M)\to 0$ $R'$ obtenemos una secuencia exacta $$0\to (M\otimes R')^{*}\to (P_{0}\otimes R')^{*} \to (P_{1}\otimes R')^{*}\to D_{R}(M)\otimes R'\to 0$$ donde exactitud en la izquierda, sigue por la derecha-la exactitud del producto tensor y a la izquierda precisión de la doble.