Hay ' s siempre un más racional $x$ $x^2\gt2$

Question

Ayuda amablemente para probar este problema.

Probar que para cada número racional positivo $s$ satisfaciendo la condición $s^2 > 2$ uno siempre puede encontrar un pequeño racional número $s - k (k > 0)$ que $(s - k) (s - k) > 2.$

¡Solicitud! Tenía muy gran problema en el tratamiento del anterior tipo de problemas. Una vez que alguno me puede ayudar hacia fuera, estoy seguro de que puedo hacer este tipo de problemas similar. Por favor, ayúdame.

Saludos y gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: ¿Qué sucede si se considera la secuencia $s-\frac{1}{n}$ $n\in\mathbb{N}$?

Answer 2

Suponemos $\sqrt{2}<s\leq2$. Da a resolver la ecuación de $x^2-2=0$ por el método de Newton y a partir de $s_0:=s$ %#% $ de #% esto implica
$$s_1={1\over2}\left(s+{2\over s}\right)\ .$ $ Aquí ambos factores en el lado derecho son positivos, y el primero de ellos es $$s_1-\sqrt{2}={\bigl(s-\sqrt{2}\bigr)^2\over 2s}={\bigl(s-\sqrt{2}\bigr)\over 2s}\cdot\bigl(s-\sqrt{2}\bigr)\ .$.

Answer 3

Muy explícitamente (y constructiva), se puede argumentar como sigue:

Que $s\in\mathbb{Q}_+$, que $s^2>2$. Que $k=\frac{s^2-2}{2s}>0$, entonces $$(s-k)^2 = s^2-2sk+k^2>s^2-2sk = 2.$ $