Definiciones equivalentes de la convergencia incondicional

Question

Me encuentro con dos definiciones de convergencia incondicional para las que no me resulta evidente que sean equivalentes. Estas son las definiciones. En todo momento, $\frak{X}$ denotará un espacio de Banach.

Definición 1. Dada una serie $\sum x_n$ en $\frak{X}$ decimos que esta serie converge incondicionalmente a $x$ si para cada $\varepsilon>0$ existe un subconjunto finito $J\subseteq \mathbb{N}$ tal que para cada subconjunto finito $I$ tal que $J\subseteq I\subseteq\mathbb{N}$ uno tiene $\|x - \sum_{i\in I}x_i\|<\varepsilon$ .

Definición 2. Una serie $\sum x_n$ en $\frak{X}$ se dice que convergen incondicionalmente a $x$ si para cualquier permutación $\sigma:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ la serie $\sum x_{\sigma(n)}$ converge a $x$ .

Me preguntaba cómo se podría demostrar que estas dos definiciones son equivalentes.

Answer 1

Esto se demuestra en detalle en:

T.H. Hildebrandt, Sobre la convergencia incondicional en espacios vectoriales normados , Toro. Amer. Math. Soc.  46  (12) (1940), 959-962, MR0003448 .

De hecho, Hildebrandt demuestra la equivalencia de cinco propiedades A-E. Tu definición 1 es su condición E y tu definición 2 es su condición A.

Dado que Hildebrandt demuestra la equivalencia de A y E (en ambas direcciones) en la página 960 y el documento es de libre acceso, no tiene mucho sentido reproducir aquí el argumento limpio y claro.

Permítanme mencionar que la condición A se remonta a

W. Orlicz, Sobre la convergencia incondicional en espacios de funciones (I) , Studia Math.  4 (1933), 33-37.

mientras que (según Hildebrandt) la condición E fue estudiada por Moore en

E.H. Moore, Análisis general Memorias de la Sociedad Filosófica Americana, vol.  1 , parte 2, 1939, p. 63.

Answer 2

1 implica 2

Consideremos que $\sum x_n$ convergen incondicionalmente a $x$ según la definición 1. Sea $\sigma$ sea una permutación arbitraria de $\mathbb{N}$ Ahora, por la definición 1 dada $\varepsilon >0$ existe un subconjunto finito $J_\varepsilon\subset\mathbb{N}$ tal que para cada subconjunto finito $I$ tal que $J_\varepsilon \subset I$ tenemos $\|x - \sum_{i\in I}x_i\|<\varepsilon$ .

Ahora, teniendo en cuenta $\varepsilon > 0$ tomar $N_\varepsilon\in\mathbb{N}$ tal que $$J_\varepsilon\subset \{\sigma(n)\,|\,n\leq N_\varepsilon\}$$ que puede calcularse fácilmente mediante $N_\varepsilon=\max \sigma^{-1}(J_\varepsilon)$ . Ahora, tenemos que para cada $m\geq N_\varepsilon$ , $$\{\sigma(n)\,|\,n\leq m\}$$ contiene $J_\varepsilon$ y es finito. Así que $$\|x - \sum_{i\in \{\sigma(n)\,|\,n\leq m\}}x_i\|<\varepsilon$$ es decir $$\|x-\sum_{n\leq m}x_{\sigma(n)}\|<\varepsilon$$ Por lo tanto, $$\sum x_{\sigma(n)}$$ convergen a $x$ por definición, porque para cada $\varepsilon>0$ hay un $N_\varepsilon$ tal que para cada $m\geq N_\varepsilon$ , $\|x-\sum_{n\leq m}x_{\sigma(n)}\|<\varepsilon$ .

2 implica 1

Para el otro sentido, utilizaremos la contraimplicación. Supongamos que $\sum x_n$ no converge incondicionalmente a $x$ según la definición 1, entonces tenemos que hay un $\varepsilon>0$ tal que para todo conjunto finito $J\subset\mathbb{N}$ existe un subconjunto finito mayor $I_J$ que lo contenga de forma que $$\|x - \sum_{i\in I_J}x_i\|\geq\varepsilon$$ Por el axioma de elección dejemos que $g$ sea la función que para cada conjunto finito $J$ selecciona el conjunto finito $J_I$ con la propiedad especial. Y definir una secuencia de conjuntos como sigue por el teorema de recursión $$A_0=\{0\}$$ $$A_{2n+1}=g(A_{2n})$$ $$A_{2n+2}=\{n\in\mathbb{N}\,|\,n\leq (\max A_{2n+1}+1)\}$$ Podemos ver que cada $A_i$ es finita y está contenida en la siguiente, y que cubren todas $\mathbb{N}$ . Sólo tenemos que aplicar la inducción.

Ahora, podemos definir una permutación $\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que cubra el $A_i$ uno a uno en orden (es decir, tenemos una secuencia creciente $\{n_i\}$ tal que $\sigma\{n\,|\,n\leq n_i\}=A_i$ ), lo que hace que $\sigma$ tiene como imágenes de algunos segmentos iniciales de $\mathbb{N}$ conjuntos de la forma $g(A_{2n})$ . $\sum x_{\sigma(n)}$ no converge a $x$ . Ya que para los existentes $\varepsilon$ tenemos que dado cualquier $N\in\mathbb{N}$ habrá un $M_N>N$ tal que $$\sigma(\{n\leq M_N\})=g(A_{2i_N})$$ para algunos $i_N$ . Así que, $$\|\sum_{n\leq M_n}x_{\sigma(n)}-x\|\geq \varepsilon$$ como se desee.