Funciones no lineales de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n$ que conservan o aumentan el ángulo entre dos vectores cualesquiera?

Question

¿Existen funciones diferenciables en casi todas partes en $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ tal que $\frac{|\langle x, y \rangle|}{|x||y|} \geq \frac{|\langle f(x), f(y) \rangle|}{|f(x)||f(y)|}$ ? ¿Cómo se construye uno?

Answer 1

Afirmo que esos mapas son precisamente los que conservan las líneas que pasan por el origen, seguidas de un movimiento ortogonal.

Para $n=1$ la condición es nula (excepto que exigimos $0\mapsto 0$ quizás?) y, por lo tanto, la afirmación se mantiene.

Su desigualdad exige que los vectores de la imagen sean "al menos tan ortogonales" como los vectores de entrada. En particular, dicho mapa preserva la ortogonalidad. Por lo tanto, para cualquier $v\ne0$ con $f(v)\ne 0$ induce un mapa con las mismas propiedades de $v^\perp$ a $f(v)^\perp$ es decir, $\Bbb R^{n-1}\to\Bbb R$ . Si $e_1,\ldots, e_n$ es la base estándar de $\Bbb R^n$ entonces $f(e_1),\ldots, f(e_n)$ es una base ortogonal de $\Bbb R^n$ y realizando un movimiento ortogonal, podemos suponer $f(e_i)=c_ie_i$ con $c_i>0$ . Podemos suponer que $f|_{e_n^\perp}$ es de la forma reclamada. Para $v\in\Bbb R^n$ escribir $c=ae_n+w$ con $w\in e_n^\perp$ . Supongamos que $c\ne0$ . Entonces $v^\perp$ se cruza con $e_n^\perp$ en un $\Bbb R^{n-2}$ invariante a la izquierda bajo $f$ Por lo tanto $f(v)$ está confinado en el espacio perpendicular de aquel, que es un $2$ -Avión. Por lo tanto, queda por demostrar la afirmación de $n=2$ .

Sí, es cierto, $v=ae_1+be_2$ con un valor no nulo $a,b$ puede asignarse como máximo a $a'e_1+b'e_2$ con $a':b'=\pm a:b$ . En caso de signo negativo, añadir una reflexión en uno de los ejes. Entonces para todos los otros vectores $w$ en el plano, la condición de ángulo respecto a $e_1$ , $e_2$ , $v$ determinar que $f(w)$ está en la misma línea que $w$ .

Answer 2

El mapa en el plano en coordenadas polares $ (r,\theta)\mapsto (r^2,2\theta)$ es una lupa angular.