Dada la ecuación general de una cónica $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $ ¿hay una manera de determinar si un punto arbitrario $(x_1,y_1)$ ¿está dentro o fuera de la cónica (por ejemplo, parábola o elipse)?
Respuesta
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Dejemos que $g(x,y) = Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F$ . Creo que la condición que quieres es que $(x_1,y_1)$ está "dentro" de la cónica si y sólo si $$ g(x_1,y_1) \quad\text{has the same sign as}\quad \left|\begin{matrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{matrix}\right| $$ (Si ese determinante es cero, la cónica es degenerada - ver esta pregunta - por lo que la idea de "dentro" no tiene sentido). Esto funciona para las elipses y las hipérbolas al menos, y creo que también para las parábolas, aunque no veo cómo demostrarlo ahora.
La idea es que la cónica $g(x,y)=0$ divide el plano en dos regiones $g(x,y)<0$ y $g(x,y)>0$ uno de ellos está "dentro" y el otro "fuera"; para saber cuál es cuál, prueba el centro $(x_c,y_c)$ de la cónica (que está dentro si es una elipse y fuera si es una hipérbola). Resulta que $$ \left|\begin{matrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{matrix}\right| = 2g(x_c,y_c) \left|\begin{matrix} 2A & B \\ B & 2C \end{matrix}\right| \tag{$ \N - El brindis $} $$ El determinante en el lado derecho es el (negativo del) discriminante de la cónica; si la cónica es una elipse, ese determinante es positivo, por lo que $g(x_c,y_c)$ y el determinante en el LHS tienen el mismo signo (que es lo que queremos, porque el centro está dentro), mientras que si la cónica es una hipérbola entonces el determinante en el RHS es negativo, por lo que $g(x_c,y_c)$ y el determinante en el LHS tienen signos opuestos (que es lo que queremos, porque el centro está fuera).
Para mostrar ( $\ast$ ), utilice el hecho de que $\nabla g(x_c,y_c)=0$ ; ya que $$ \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = 2Ax+By+D \qquad\text{and}\qquad \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) = Bx+2Cy+E \text{ ,} $$ conseguimos que $$ \left[\begin{matrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_c \\ y_c \\ 1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right] $$ y así $$ g(x_c,y_c) = \frac12 \left[\begin{matrix} x_c & y_c & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_c \\ y_c \\ 1 \end{matrix}\right] = \frac12 (Dx_c+Ey_c+2F) $$ de donde $$ \left|\begin{matrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{matrix}\right| = \det\left( \left[\begin{matrix} 2A & B & D \\ B & 2C & E \\ D & E & 2F \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 & 0 & x_c \\ 0 & 1 & y_c \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\right) = \left|\begin{matrix} 2A & B & 0 \\ B & 2C & 0 \\ D & E & 2g(x_c,y_c) \end{matrix}\right| $$ que da ( $\ast$ ).
