(1) notemos primero que
$$\int_{\mathbb{R}^n} \Gamma(t,x) dx = 1\; \forall t \in \mathbb{R}_{+} $$
Y, como $t \rightarrow 0$, $\Gamma(t,x) \rightarrow 0, \; x \not=0$, así que, por el Teorema de Convergencia Dominada, $\int_{\mathbb{R}^n\backslash B(0,\delta)} \Gamma(t,x) dx \rightarrow 0 \;\forall \delta > 0$$t \rightarrow 0$. Esto nos ayudará ahora:
Escribir
$$\| u(t,\cdot) - f\|_p^p = \int_{\mathbb{R}^n} \left|\int_{\mathbb{R}^n}\Gamma(t,y)[f(x-y)-f(x)]dy\right|^pdx $$
Por la desigualdad de Minkowski para las integrales, tenemos que
$$\|u(x,\cdot)-f\|_p \le \int_{\mathbb{R}^n}\left(\int_{\mathbb{R}^n} |f(x-y)-f(x)|^p dx\right) ^{1/p}\Gamma(t,y) dy\;\;\;\;(1) $$
Ahora vamos a necesitar un
Lema: La traducción es continua en a $L^p$, es decir, para cada una de las $f \in L^P$, tenemos que
$$\|\tau_hf - f \|_p \rightarrow 0$$
Como $h \rightarrow 0$
La prueba de este Lema es estándar: frist, se demuestra que es cierto para $f \in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^n)$, luego aproximado cualquier $L^p$ funciones las funciones de este tipo. No voy a dar detalles para esta prueba aquí.
Así que, ahora que hemos
$$\|u(t,\cdot)-f\|_p \le \int_{\mathbb{R}^n} \|\tau_y f - f\|_p \Gamma(t,y)dy \\ \le \int_{B(0,\delta)}\|\tau_y f - f\|_p \Gamma(t,y)dy + 2\|f\|_p \int_{B(0,\delta)^{c}}\Gamma(t,y)dy $$
Por las observaciones y el Lema, hemos que podemos optar $\delta$ tal que $\|\tau_y f - f \|_p \le \epsilon \;\forall |y|<\delta$, y, para esto $\delta$, si tomamos $t$ suficientemente pequeño, tendremos que la segunda integral es mas pequeñas que o igual a $\epsilon$, por lo que, para lo suficientemente pequeño $t$,
$$ \|u(t,\cdot) - f\|_p \le \epsilon + 2\|f\|_p\;\epsilon$$
Claramente esto termina la prueba de (1).
(2) EDICIÓN: hubo un error en esta parte, como @robjohn mencionado. Creo que este es el correcto: Vamos a $f \in L^1\cap L^p$ a primera. Luego, por los Jóvenes de la desigualdad,
$$ \|u(t,\cdot)\|_{\infty} \le \|\Gamma(t,\cdot)\|_{p'} \|f\|_p $$
Y
$$ \|u(t,\cdot)\|_{1} \le \|f\|_1 $$
Por $L^p$-Interpolación, hemos que
$$ \|u(t,\cdot)\|_p \le \|u(t,\cdot)\|_1^{1/p}\|u(t,\cdot)\|_{\infty}^{(p-1)/p}\le C(f,p)\|\Gamma(t,\cdot)\|_{p'} ^{(p-1)/p} $$
Donde $p'^{-1} + p^{-1} = 1$. Pero
$$\|\Gamma(t,\cdot)\|_{r}^r = \frac{1}{(4\pi t)^{nr/2}}\int e^{\frac{-r|x|^2}{4t}}dx = \frac{1}{(4\pi t)^{nr/2}} c(n) \int_{0}^{\infty} s^{n-1}e^{-\frac{rs^2}{4t}}ds = \\ \frac{c(n)}{(4\pi t)^{nr/2}} \sqrt{\frac{4t}{r}}^n \int_0^{\infty} w^{n-1}e^{-w^2} dw $$
Lo que demuestra que, para $r>1$, $\|\Gamma(t,\cdot)\|_r \rightarrow 0$ como $t \rightarrow \infty$. Por lo tanto, hemos demostrado el Teorema para $f \in L^1 \cap L^p$.
Para el caso general, vamos a $g \in L^1\cap L^p$ ser tal que $\|g-f\|_p \le \varepsilon$, y, a continuación,
$$ \|u_f(t,\cdot)\|_p \le \|u_g(t,\cdot)-u_f(t,\cdot)\|_p + \|u_g(t,\cdot)\|_p \le \varepsilon + \varepsilon$$
Si $t$ es lo suficientemente grande, donde hemos utilizado una vez más que el $\|u(t,\cdot)\|_p\le \|f\|_p$. Así, el Teorema queda demostrado.
La parte (3) es más extensa que la anterior. La menor prueba de que yo sé que esta hecho de los usos que la convolución tipo de Operador asociado a la Gaussiana es de Débiles tipo de 1-1 y dominado por un múltiplo de la de Hardy-Littlewood Máxima Operador, pero, como usted dijo que su fondo es de sólo $L^p$ espacios, entonces supongo que esto es demasiado complicado para esta discusión.
