Estructuras en espacios de topologías

Question

¿Existe un fructífero noción de "espacio de moduli de topologías"?

Por ejemplo, es posible definir útil/natural topologías sobre el conjunto de las topologías en un conjunto determinado $A$? Cuándo tiene sentido hablar acerca de la convergencia de una secuencia de topologías? Hay otras estructuras interesantes que uno puede definir en este espacio, además de la topológico?

Si el conjunto de todas las topologías más de un conjunto dado es demasiado difícil de manejar, no son útiles restricciones que permiten una más fructífera de estudio?

Cómo acerca de las topologías en distintos conjuntos? Por ejemplo, supongamos que $A_i$, $i=1,2,\ldots$ es una secuencia de conjuntos y $\tau_i$ es una topología en $A_i$. Hay una noción útil de la convergencia en un escenario?

Answer 1

El conjunto de todas las topologías junto con el "gruesa" relación parcial de hecho forma un enrejado limitado completado. El elemento máximo es la topología discreta, el elemento mínimo es la topología trivial. La relación "más gruesa" es parcial, por lo que no se puede poner una topología del orden en él. Para una pregunta relacionada, ver aquí: topología en el conjunto de particiones