Determinar un campo de separación

Question

Estoy tratando de determinar la división de los campos de un montón de polinomios. Le voy a pedir a uno aquí, y espero que un general bastante técnica puede ser descrito a encontrar el resto de ellos.

Actualmente, estoy tratando de encontrar la división de campo de la $(x^{15}-5)(x^{77}-1)$$\Bbb Q$, el grado, y determinar si es una extensión de Galois.

Ahora, yo sé que el derecho polinomio es el cyclotomic polinomio, por lo tanto tiene un grado $\varphi(77)=60$,$\Bbb Q$. La izquierda polinomio es irreducible por el Criterio de Eisenstein, por lo tanto contigua $\sqrt[15]{5}$ da un grado 15 de extensión y como una extensión independiente, adosado $\zeta_{15}$ (un primitivo $15^{th}$ raíz de la unidad) da un grado $8$ de extensión. Desde $8$ $15$ son relativamente primos, yo sé que el grado de la extensión de la división de campo de la $x^{15}-5$$120$.

Todo esto parece muy bien, pero ahora estoy perdido. La división de campo de sí misma, obviamente $\Bbb Q(\zeta_{77},\sqrt[15]{5},\zeta_{15})$, pero ¿cómo puedo comprobar el grado y determinar si es Galois?

Answer 1

En primer lugar reducir el $\zeta$'s: tienes $$\mathbb{Q}(\zeta_{77}, \zeta_{15}) = \mathbb{Q}(\zeta_{lcm(77,15)}) = \mathbb{Q}(\zeta_{1155}).$$ This is an extension of $\mathbb{Q}$ of degree $\varphi(1155) = \varphi (77) \cdot \varphi(15) = 480. $

¿Cuál es el % de intersección $\mathbb{Q}(\zeta_{1155}) \cap \mathbb{Q}(\sqrt[15]{5})$?

Subcampos de ciclotómicas campos son abelianos (lo contrario también es cierto), es decir, disponen de Galois abelian que grupos de Galois. Sin embargo, los subcampos no triviales de $\mathbb{Q}(\sqrt[15]{5})$ - $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$, $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{5})$ y $\mathbb{Q}(\sqrt[15]{5})$ - no son Galois. Así que usted tiene $\mathbb{Q}(\zeta_{1155}) \cap \mathbb{Q}(\sqrt[15]{5}) = \mathbb{Q}$ y $$[\mathbb{Q}(\zeta_{1155}, \sqrt[15]{5}) : \mathbb{Q}] = 480 \cdot 15 = 7200.$ $