La homología del Toro.

Question

Estoy leyendo "superficie de Riemann" por Donaldson.

En la página 68, el cálculo de la primera homología del torus $T$ es dado, pero hay varios pasos que no entiendo.

Aquí está el cálculo.

Considerar el torus $T$ y estándar angular coordina $\theta, \phi \in [0, 2\pi]$. Deje $\gamma_1, \gamma_2 \subset T$ ser el estándar incrustadas círculos correspondientes a $\theta=0, \phi=0$, respectivamente. A continuación, el mapa $$\alpha \mapsto \bigg( \int_{\gamma_1} \alpha, \int_{\gamma_2} \alpha\bigg)$$ induce un lineal mapa de$H^1(T)$$\mathbb{R}^2$, ya que la integral de $df$ $\gamma_i$ se desvanece para cualquier función de $f$$T$. Las formas $d\theta$ $d\phi$ muestran que este mapa es surjective. Pretendemos que el mapa también es inyectiva, por lo $H^1(T)=\mathbb{R}^2$. Para, si $\alpha=P d\theta +Q d\phi$ es un cerrado de 1-forma integral a $0$$\gamma_2$, entonces para cualquier fija $\phi$ tenemos, por Stokes Teorema, $$ (1) \int_0^{2\pi} P(\theta, \phi)d\theta=0.$$ Esto significa que la integral indefinida $$f(\theta, \phi)=\int_0^{\theta} P(u, \phi)du$$ define una función suave en $T$$\partial f / \partial \theta=P$. Por lo tanto $\tilde{\alpha}=\alpha -df$ es un cerrado de 1-forma de la forma $\tilde Q d \phi$. Pero el estado cerrado implica que $Q$ es constante y, si la integral alrededor de $\gamma_1$ es cero, esta constante debe ser cero y $\alpha=df$.

Preguntas: 1. La primera cosa que quiero entender es cómo conseguir (1). ¿Cómo puedo useStokes Teorema de aquí? Para que la superficie y los límites de uso de Stokes Teorema?

2.¿Por qué (1) media $f(\theta, \phi)$ niega una función suave en $T$?

Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Anuncio 1: en Primer lugar, se observa que la $$ \int_0^{2\pi} P(\theta,\phi) d\theta = \int_{\gamma[\phi]} \alpha, $$ donde $\gamma[\phi]$ es el círculo parametrizada por $t \mapsto (t,\phi)$, por ejemplo, $\gamma[0] = \gamma_2$. Ahora, vamos a $S$ ser cerrado el anillo en $T$ correspondiente a $(\theta,\phi) \in [0,2\pi] \times [0,\phi]$, por lo que el $\partial S = \gamma[\phi] - \gamma_2$. Entonces, desde el $\alpha$ es cerrado y $$ \int_{\gamma_2} \alpha = 0, $$ se sigue por el teorema de Stokes que $$ 0 = \int_S d\alpha = \int_{\parcial S} \alpha = \int_{\gamma[\phi]} \alpha \int_{\gamma_2} \alpha = \int_0^{2\pi} P(\theta,\phi)d\theta, $$ como se requiere.

Anuncio 2: a priori, $f$ es una función suave en $[0,2\pi]^2$, por lo que para definir una función suave en $T$, y todas sus derivadas parciales deben satisfacer periódico de las condiciones de contorno, es decir, $$ \partial^m_\theta \partial^n_\phi f(0,\phi) = \partial^m_\theta \partial^n_\phi f(2\pi,\phi) \quad \partial^m_\theta \partial^n_\phi f(\theta,0) = \partial^m_\theta \partial^n_\phi f(\theta,2\pi) $$ para todos $m$, $n \geq 0$. Sin embargo, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos que para todo $m$, $n \geq 0$, $$ \partial^n_\phi f(\theta,\phi) = \int_0^\theta \partial^n_\phi P(u,\phi)du, \quad \partial_\theta^{m+1}\partial_\phi^nf(\theta,\phi) = \partial^m_\theta \partial^n_\phi P(\theta,\phi), $$ de modo que desde $P$ ya es una función suave en $T$, es suficiente para comprobar que, para todos los $n \geq 0$, $$ \partial^n_\phi f(0,\phi) = \partial^n_\phi f(2\pi,\phi) \quad \partial^n_\phi f(\theta,0) = \partial^n_\phi f(\theta,2\pi). $$ Entonces, por un lado, desde la $P$ sí es una función suave en $T$, se deduce que $$ \quad \partial^n_\phi f(\theta,0) = \int_0^\theta \partial^n_\phi P(u,0)du = \int_0^\theta \partial^n_\phi P(u,2\pi)du = \partial^n_\phi f(\theta,2\pi), $$ mientras que en el otro lado, por (1), $$ \partial^n_\phi f(0,\phi) = \int_0^0 \partial^n_\phi P(u,\phi)du = 0 = \partial^n_\phi \int_0^{2\pi} P(u,\phi)du = \int_0^{2\pi} \partial^n_\phi P(u,\phi)du = \partial^n_\phi f(2\pi,\phi). $$ Por lo tanto, $f$ hecho de definir una función suave en $T$.