Cuando se baraja una baraja al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una permutación única nunca antes configurada?

Question

Acabo de volver de una clase de Probabilidad en la Teoría de Juegos, y estaba reflexionando sobre algo en mi cabeza.

Suponiendo, por el bien de la pregunta:

• Los naipes, en su estado actual, existen desde hace aproximadamente ocho siglos
• Una baraja de cartas se baraja con una configuración aleatoria mil millones de veces al día
• Cada barajada es completamente (teóricamente) aleatoria y no se ve afectada por los sesgos causados por el barajado humano y los juegos en los que se utilizan las cartas
• Por "baraja", me refiero a una pila de cartas desordenadas $52$ cartas únicas, con una composición idéntica de una baraja a otra.

Esto sería, aproximadamente, del orden de $3 \cdot 10^{14}$ barajar al azar en la historia de los naipes.

Si hoy barajo un nuevo mazo, completamente al azar, ¿cuáles son las probabilidades (de $1$ ) que creas una nueva permutación única de las cartas que nunca antes se había logrado en la historia de $3 \cdot 10^{14}$ ¿también se barajan al azar?

Mi primer pensamiento fue pensar que era una simple cuestión de $\frac{1}{52!} \cdot 3 \cdot 10^{14}$ pero luego me encontré con cosas como Paradoja de cumpleaños . Aunque no es análogo (tendría que estar preguntando por las probabilidades de que dos barajas barajadas en la historia de las barajas barajadas coincidan alguna vez), me ha hecho cuestionar mis nociones intuitivas de Probabilidad.

¿Qué hay de malo en mi planteamiento inicial, si es que es malo?

¿Cuál es la verdadera probabilidad?

Y, si la probabilidad es menor que $0.5$ si tenemos que esperar cuántos años más (¿siglos?) debemos esperar, suponiendo el ritmo actual de mil millones de barajadas al día, hasta que alcancemos un estado en el que la probabilidad sea $0.5$ +? $0.9$ +?

(Por curiosidad, sería interesante conocer también la respuesta análoga a la paradoja del cumpleaños)

Answer 1

Su respuesta original de $\dfrac{3 \times 10^{14}}{52!}$ no está lejos de tener razón. De hecho, ese es el número esperado de veces que se ha producido cualquier ordenamiento de las cartas.

La probabilidad de que cualquier ordenamiento particular de las cartas no haya ocurrido, dadas sus suposiciones iniciales, es $\left(1-\frac1{52!}\right)^{(3\times10^{14})}$ y la probabilidad de que se haya producido es 1 menos este valor. Pero para valores pequeños de $n\epsilon$ , $(1+\epsilon)^n$ es casi $1+n\epsilon$ . En particular, dado que $52!\approx 8\times 10^{67}$ y así $\dfrac{3\times10^{14}}{52!}\approx 3.75\times 10^{-54}$ es microscópicamente pequeño, $1-\left(1-\frac1{52!}\right)^{(3\times10^{14})}$ está muy cerca de $\frac1{52!}\times (3\times10^{14})$ .

Answer 2

Hay $52!$ posibles pedidos de una baraja de $52$ tarjetas. Si un orden único de una baraja de $52$ se han creado cartas únicas cada segundo desde el big bang, la probabilidad de que dos de ellas se repitan se aproxima a $$1-(1-1/52!)^{(10^{17})} = 1.2397999\times10^{-51}\ .$$ Para mostrar el tamaño de este número, supongamos que el mismo barajado ha tenido lugar cada segundo en un planeta que orbita cada uno de los estimados $10^{24}$ estrellas en el universo conocido desde el principio de los tiempos. La posibilidad de que todos esos órdenes hayan sido únicos sigue siendo $$99.999999999999999999999999876\%\ .$$ Baraje una baraja seis veces y cree algo realmente único.

Answer 3

Supongamos que barajamos una baraja y obtenemos una permutación p. Por cada barajada anterior hay una probabilidad de 1-1/52! de que p no coincida. ¡Cada barajada anterior es independiente, en el sentido de que, independientemente de cuál sea p y las otras permutaciones, la probabilidad de que p coincida con la barajada es de 1-1/52! Cuando las probabilidades son independientes, podemos simplemente multiplicarlas para encontrar la probabilidad de que ocurran todos los eventos. En este caso, cada suceso es en realidad una coincidencia no por lo que la probabilidad de que no haya coincidencias dadas n barajadas anteriores es (1-1/52!)^n. Podemos entonces completar los cálculos como lo hizo Michael.

Answer 4

Tienes razón en cuestionar tus supuestos y en que la fórmula que das ( $n=$ número de barajadas que se han hecho/ $N=$ número de barajadas posibles) no es bastante correcto (como otros han señalado), pero a diferencia de la paradoja del cumpleaños, aquí la diferencia funciona para baja las posibilidades de coincidir, no de aumentarlas. Trabajar con números más pequeños ayuda un poco a la intuición: supongamos que ha habido $n$ rollos de un $N=$ Un dado de 20 caras, y quieres saber qué posibilidades tienes de acertar con alguna tirada anterior. Entonces una primera aproximación razonable para las pequeñas $n$ es que la probabilidad de coincidencia es $n/20$ : esto es correcto para $n=0$ y $n=1$ y coincide con la "intuición" de tener $n$ tiradas anteriores para compararlas. Pero al aumentar el número a $n=20$ muestra el desglose de la aproximación; después de 20 tiradas, sus probabilidades no son del 100% de sacar un número que ya ha salido una vez, y después de 21 tiradas ciertamente no lo son mayor ¡que el 100%!

El fallo aquí, por supuesto, es que después de $n$ rollos no habrá sido $n$ números únicos que se han tirado; en cambio, es probable que ya haya algunos duplicados. Pero también está claro, al pensar en la probabilidad de esta manera, que las probabilidades de una coincidencia en su próxima baraja (o tirada) debe sea menor que la que habría si todas las barajadas anteriores fueran únicas, y por tanto debe ser menor que la $n/N$ aproximación que utiliza (con $n=3\times 10^{14}$ y $N=52!$ ).

(También hay una forma relativamente intuitiva de ver la paradoja del cumpleaños que explica su naturaleza "paradójica"; en ella no se trata de hacer coincidir una cosa con $n$ pero $n$ cosas entre sí, por lo que la cantidad correcta a utilizar no es $n$ sino el número de posible partidos, $n(n-1)/2\approx n^2/2$ y cada uno de ellos (heurísticamente) tiene un $1$ en $N$ de coincidir realmente; por eso se puede empezar a esperar una coincidencia para un valor de $n$ que es proporcional a $\sqrt{N}$ en lugar de un valor de $n$ que es proporcional a $N$ .)

Answer 5

Aplicando la lógica de la paradoja del cumpleaños al calcular la probabilidad de que el orden de una baraja de 52 cartas se haya barajado antes en la historia de la humanidad.

x= el número de veces que se ha barajado antes una baraja de 52 cartas en toda la historia.

p = 1 - ((52!)! / 52!^x * (52!-x)!)

Esta parte es muy especulativa: Digamos que han vivido 30.000 millones de humanos en los últimos 800 años que han existido los naipes. Cuando alguien juega a las cartas 1 vez al mes durante 50 años baraja 600 veces. Algunas personas nunca juegan a las cartas, otras lo hacen más de una vez al mes. Tomemos 600 veces en una vida como promedio, entonces en toda la historia habría 18000 mil millones de barajadas.

Ahora viene un problema práctico es fácil de llenar en 18000 mil millones para x, pero no puedo encontrar una calculadora que puede manejar los grandes números involucrados en el cálculo y me falta las habilidades matemáticas para resolver el cálculo de una manera diferente.