demostrar que si $\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma=2$ luego el triángulo tiene un ángulo recto

Question

demostrar que si $\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma=2$ luego el triángulo tiene un ángulo recto.

$\alpha,\beta,\gamma$ son los ángulos del triángulo.

He intentado usar todo tipo de identidades trigonométricas, pero no funcionó para mí. ha a complejo la forma me

Gracias.

Answer 1

Reordenando, tenemos $$\sin^2(a) = \cos^2(b) + \cos^2(c)$ $ desde $a=\pi-(b+c)$, obtenemos %#% $ #% por lo tanto, $$\sin^2(b+c) = \cos^2(b) + \cos^2(c)$ $ esto nos da el $$(\sin(b)\cos(c) + \cos(b) \sin(c))^2 = \cos^2(b) + \cos^2(c)$ $ esto significa $$\sin(b)\sin(c)\cos(b)\cos(c) = \cos^2(b) \cos^2(c)$ $ ahora concluir lo que usted quiere.

Answer 2

Vamos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ ser los ángulos de un triángulo; entonces se mantiene $$ \boxed{\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=2+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma} $$ Si este es igual a $2$, llegamos a la conclusión de $$ \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=0 $$ así que uno de los ángulos es un ángulo recto.

La prueba de la reclamación

Vamos a usar ese $\gamma=\pi-\alpha-\beta$, lo $\cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta)$. Entonces \begin{align} \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma&= \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta)\\ &=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\alpha\cos^2\beta+\sin^2\alpha\sin^2\beta\\ &\qquad-2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta\\ &=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta+2\cos^2\alpha\cos^2\beta\\ &\qquad-2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta\\ &=1+2\cos\alpha\cos\beta(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\ &=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma \end{align} dando la relación final $$ \boxed{\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma} $$ Ahora \begin{align} \sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma &=3-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma\\ &=2+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma \end{align} como se afirma en el principio.

Answer 3

Utilizando prueba que $\cos (A + B)\cos (A - B) = {\cos ^2}A - {\sin ^2}B$

$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=1-(\cos^2A-\sin^2B)+1-\cos^2C$$

$$=2-\cos(A-B)\cos(A+B)-\cos C\cos C$$

$$=2-\cos(A-B)\cos(\pi-C)-\cos\{\pi-(A+B)\}\cos C$$

$$=2+\cos(A-B)\cos C+\cos(A+B)\cos C\text{ as }\cos(\pi-x)=-\cos x$$

$$=2+\cos C[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$$

$$=2+\cos C[2\cos A\cos B]$$