La pregunta requiere que algunas de las definiciones que he enumerado a continuación para su conveniencia. Se puede encontrar en el Capítulo VI, páginas 297-298 de Bredon la Introducción a la Compactos Grupos de transformaciones.
En un espacio topológico $X$ una estructura funcional $F_{X}$ es un assingment definido en la colección de abrir conjuntos de $U\subset X$ de los que tomaron $U\mapsto F_{X}(U)$ tal forma que:
$F_{X}(U)$ es una subalgebra de la álgebra de la real continua de las funciones con valores en $U$ y contiene todas las constantes de funciones.
Si $V$ está abierto, $V\subset U$$f\in F_{X}(U)$$f|_{V}\in F_{X}(V)$.
Si $\{U_{i}\}$ es una colección de bloques abiertos y $f|_{U_{i}}\in F_{X}(U_{i})$ todos los $i$$f\in F_{X}(\bigcup_{i}U_{i})$.
El par $(X,F_{X})$ se llama funcionalmente estructurado el espacio. E. g. $(\mathbb{R}^{n},C^{\infty})$ donde $\mathbb{R^{n}}$ tiene la costumbre de topología y $C^{\infty}(U)=\text{all $C^{\infty}$ functions on $U$.}$
Si $(X,F_{X})$ es un funcionalmente estructurado el espacio y el $U\subset X$ es abierta, para $V\subset U$ abierto definimos $F_{U}(V)=F_{X}(V)$, de modo que $(U,F_{U})$ es un funcionalmente estructurado el espacio.
Una de morfismos de funcionalmente estructurado espacios de $(X, F_{X})$ $(Y,F_{Y})$ es un mapa continuo $\varphi:X\rightarrow Y$ tal que para cualquier conjunto abierto $V\subset Y$ $f\in F_{Y}(V)$ tenemos $f\circ \varphi\in F_{X}(\varphi^{-1}(V))$. Una de morfismos $\varphi$ es un isomorfismo si $\varphi^{-1}$ existe como morfismos. Se dice entonces que $(X,F_{X})\simeq (Y,F_{Y})$.
Una $n$-dimensiones variedad diferenciable es un segundo contables funcionalmente estructurado espacio de Hausdorff $(M,F)$ con la propiedad de que cada punto en $M$ tiene un vecindario $U$ tal que $(U,F_{U})\simeq(V,C^{\infty}_{V})$ para un conjunto abierto $V\subset \mathbb{R}^{n}$.
Pregunta: Vamos a $(X,F_{X})$ ser un funcionalmente estructurado el espacio con la siguiente propiedad. Cada punto en $X$ tiene un vecindario $U$ que no son funciones de $f_{1},\ldots ,f_{n}\in F_{X}(U)$ verificar: Una verdadera función con valores de $g$ $U$ $F_{X}(U)$ fib no sale de una suave real, la función con valores de $h$ $n$ variables reales, tales que $g(p)=h(f_{1}(p),\ldots,f_{n}(p))$ todos los $p\in U$.
De lo anterior se sigue que el $\mathbf{(X,F_{X})}$ $\mathbf{n}$- dimensiones variedad diferenciable? (En el sentido de la definición dada anteriormente).
Edit: Poleas son nuevas para mí, pero después de leer los comentarios me quería señalar esto y esto MSE puestos, y la wikipedia página y subwiki página donde las poleas se utilizan para definir diferenciable colectores.
Edit: Poleas mi ser utilizado para definir diferenciable colectores: Roughtly hablando, una variedad diferenciable es un segundo contables topológico de Hausdorff espacio equipado con un subsheaf de la gavilla de la real continua con valores de la función que es localmente isomorfo a la gavilla de lisa real de las funciones con valores en algunos $\mathbb{R}^{n}$.
