Mostrando una función es diferenciable en $\mathbb{R}^+$

Question

Pregunta: Vamos a $f \ge 0$ ser una función integrable en $\mathbb{R}$. Definir $g(t) := \displaystyle \int_\mathbb{R} \cos(tx)\ f(x) \; dx$$t \ge 0$. Espectáculo $g$ es dos veces diferenciable $\iff \displaystyle \int_\mathbb{R} x^2 f(x) \; dx <\infty$.

Solución: $(\Rightarrow)$ Supongamos $g$ es dos veces diferenciable de modo que $| g''(0)|<\infty$. A continuación, \begin{align*} |g''(0)| &= \left\vert \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(h) -2g(0) +g(-h)}{h^2} \right\vert \\ &= \lim \limits_{h \to 0}\left\vert \dfrac{g(h) -2g(0) +g(-h)}{h^2} \right\vert \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \int_\mathbb{R} \left\vert \dfrac{ \cos(hx) -2 + \cos(-hx)}{h^2} f(x) \right\vert \; dx \quad (^* \text{Wrong, see edit}^*)\\ &= \lim \limits_{h \to 0} \int_\mathbb{R} \left\vert \dfrac{2( \cos(hx) -1) }{h^2} \right\vert f(x) \; dx \\ &\ge \int_\mathbb{R} \liminf \limits_{h \to 0} \left\vert \dfrac{2( \cos(hx) -1) }{h^2} \right\vert f(x) \; dx \quad \text{(Fatou)} \\ &= \int_\mathbb{R} x^2f(x) \; dx. \end{align*}

$(\Leftarrow) $ Aquí es donde yo tengo algo de pegada. Estoy haciendo una técnica estándar de mostrar una derivada parcial es limitado así que puede empujar a la derivada en el interior de la integral utilizando LDCT (Se mueve la diferenciación desde el interior, fuera de una integral, cambiar el resultado?)

En primer lugar, tenga en cuenta que $g(t)$ es integrable desde $$ \left\vert \int_\mathbb{R} \cos(tx) f(x) \; dx \right\vert \le \|f\|_{L^1(\mathbb{R})}<\infty $$

También, $\left\vert \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \cos(tx) f(x) \right\vert = |x^2 \cos(tx) f(x)| \le |x^2 f(x)|,$ que es integrable por supuesto. Por lo $g''$ existe, asumiendo $g'$.

Pero no puedo mostrar $g'$ existe porque $\left\vert \frac{\partial }{\partial t} \cos(tx) f(x) \right\vert = |x\sin(tx) f(x)| $,$\le$$|xf(x)|$$|x^2 t f(x)|$, ninguno de los cuales parece ayudar . . .

Si me ataque con $g'(t) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(t+h)-g(t)}{h} = \lim \limits_{h \to 0} \displaystyle \int_\mathbb{R} \dfrac{\cos(x(t+h)) - \cos(xt)}{h}f(x) \; dx$, yo no puedo avanzar.

Gracias por la ayuda.

EDIT: voy a corregir el $\Rightarrow$ dirección. Básicamente todo lo que necesitas hacer es tenga en cuenta que $2 - 2 \cos(hx) \ge 0$, así que todavía puede solicitar Fatou. \begin{align*} -g''(0) &= \lim \limits_{h \to 0} -\dfrac{g(h) -2g(0) +g(-h)}{h^2} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \int_\mathbb{R} \dfrac{ -\cos(hx) +2 - \cos(-hx)}{h^2} f(x) \; dx \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \int_\mathbb{R} \dfrac{2( 1-\cos(hx)) }{h^2} f(x) \; dx \\ &\ge \int_\mathbb{R} \liminf \limits_{h \to 0} \dfrac{2(1-\cos(hx)) }{h^2} f(x) \; dx \quad \text{(Fatou)} \\ &= \int_\mathbb{R} x^2f(x) \; dx. \end{align*}

Answer 1

En la prueba de $\implies,$ tiene un error en el tránsito de la línea 2 línea 3: has cambiado los valores absolutos dentro de la integral, por lo $=$ debe $\le 0.$

En la otra dirección, se puede utilizar el valor medio teorema:

$$\tag 1 |\cos ((t+h)x) - \cos (tx)| = |(-\sin c)\cdot (hx)| \le |hx|$$

Ahora

$$ \frac{g(t+h)-g(t)}{h} = \int \frac{\cos ((t+h)x) - \cos (tx)}{h} f(x)\, dx.$$

En valor absoluto, el integrando de la derecha es $\le |xf(x)|$ $(1).$ Porque $x^2f(x) \in L^1,$ $xf(x) \in L^1.$ por Lo que el teorema de convergencia dominada da

$$\tag 2 g'(t) = \int (- \sin (tx))x f(x)\,dx.$$

Este argumento puede ser repetido en la diferenciación de $(2),$ esta vez usando $x^2f(x)\in L^1$ directamente. Llegamos $g''(t) = \int (- \cos (tx))x^2 f(x)\,dx.$

Answer 2

Si $|h| \leq 1$, entonces $$ \begin{aligned} \left|\frac{\cos(x(t+h)) - \cos(xt)}{h}\right| &= \left|\frac{\cos(xt)(\cos(xh)-1) - \sin(xt)\sin(xh)}{h}\right| \\ &\leq \left|\cos(xt)\right| \left|\frac{\cos(xh) - 1}{h} \right| + \left| \sin(xt) \right| \left| \frac{\sin(xh)}{h}\right| \\ &\leq |\cos(xt)|\left|\frac{x^2 h}{2}\right| + \left|\sin(xt)\right||x| \\ &\leq |\cos(xt)|\left| \frac{x^2}{2} \right| + \left|\sin(xt)\right||x| \\ &\leq \frac{x^2}{2} + |x| \\ \end{alineación} $$ para % $ $$\left(\frac{x^2}{2} + |x|\right)|f(x)|$sirve como una dominación limita función una vez que reconocemos que $|x||f(x)|$ $|f(x)|$ $|x| \leq 1$ y $x^2|f(x)|$ $|x| > 1$.