En Jacobson, el libro de Álgebra Básica 1, señala que se pueden formar grupos cociente mirando las clases de equivalencia de una 'multiplicación compatible' de equivalencia de la relación en el grupo. Por multiplicación compatible, lo que significa que si $A,B$ son clases de equivalencia de a $a, b$, y también tenemos que $c \in A, d \in B$, entonces la clase de equivalencia de a $ab$ es la clase de equivalencia de a $cd$. Como resulta que, de esta forma un grupo. Luego señala que la clase de equivalencia de 1 es un subgrupo normal y de que el grupo que se obtiene es igual a la original grupo quotiented por la clase de equivalencia de 1. Soy curioso en cuanto a si hay situaciones en las que sería cociente de un grupo por una relación de equivalencia, y no por un subgrupo normal, dado que estos son equivalentes.
Respuestas
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Seguro. Considerar el cociente de un grupo topológico $G$ por la relación "se encuentra en la misma componente conectado." Consigue un grupo de $\pi_0(G)$ de los componentes conectados. Esto es equivalente a quotienting por el componente conectado de la identidad (que dicho sea de paso demuestra que este subgrupo es normal) pero creo que la relación de equivalencia es la más natural de lo que hay que pensar, incluso si el pensamiento acerca de la normal subgrupo es conveniente.
Un tipo de relación de equivalencia se puede definir en grupo de elementos es un doble coset.
Otro tipo de relación de equivalencia puede ver en la teoría de grupos tiene que ver con los pares de los subgrupos, en lugar de los elementos. Si $1\leq M\trianglelefteq H \leq G$, $(H,M)$ se conoce como un par si $H/M$ es cíclico. $(H,M)$ es la llamada "buena" si $[g,H\cap g H g^{-1}]\not\subseteq M$ cualquier $g\in G\setminus H$. Por último, si $(K,L)$ es otro buen par, llamamos a $(H,M)$ $(K,L)$ relacionado en G si hay un $k\in G$, de modo que $k^{-1}Hk\cap L=K\cap k^{-1}Mk$. (No son de carácter teórico definiciones de todos estos, también.) Como resultado, "relativa" es una relación de equivalencia en el conjunto de buenos pares en G.
No sé si el segundo ejemplo es lo que estaba buscando exactamente cuando usted habla acerca de tomar un cociente, pero las interacciones entre estos equivalencia de clases puede ser muy interesante, y termina motivando el estudio de un complicado clase de grupos denominados $M$-grupos.
