Probabilidad de la construcción de una matriz inversible

Question

¿Si construimos una matriz de 10 X 10, relleno al azar de 1 y 0, es más probable que sea inversible o singular?

En primer lugar hasta que tengamos 10 1 su no va a ser inversible.
¡10 1 en la diagonal, podemos hacer muchas matrices triangulares inferiores y superiores, cada una de ellas será inversible.

Pero yo no estoy encontrando una manera de proceder.

Answer 1

Más de $\mathrm{GF}(2)$, el número de invertible $n \times n$ $(0,1)$-la matriz está dada por $$\prod_{k=1}^n (1-2^{-k}).$$ See this math.SE answer for the argument. Hence the probability of invertibility is approximately $0.289$.

La respuesta es mucho más difícil durante los racionales (o, equivalentemente, reales). Hay algunos asintótica resultados discutidos en la página enlazada. Parece que el número exacto no es conocido por $10 \times 10$ ya que no aparece en la OEIS: http://oeis.org/A046747.

Experimentalmente, puede estar bastante seguro de que la probabilidad es $>0.5$ (es decir, más probabilidades de ser invertible). La siguiente figura parcelas de una estimación de la probabilidad como el número de muestras aumenta:

Answer 2

Rebecca dio una buena respuesta. Deje $P_d$ la probabilidad de que su $d\times d\;\;$ $0-1$ la matriz es SINGULAR. Entonces se la conoce (Kahn,Komlos,Szemeredi) que $P_d$ tiende a $0$ al $d$ tiende a $\infty$. Tao y Vu dar una estimación (2005) $P_d=(3/4+o(1))^d$. Sin embargo, para $d=10$ (una pequeña cantidad), las distintas estimaciones conocidas son absolutamente inútiles. Experimentos numéricos muestran que $P_{10}\approx 0.297$, pero el valor exacto parece ser desconocido.

Sin embargo, los posibles valores de $\det(A)$ al $A$ es un $10\times 10\;\;$ $0-1$ matriz son conocidos (Orrick) ; cf. http://mypage.iu.edu/~worrick/diapositivas/SpectrumANU.pdf