Estoy empezando a pensar que el problema aquí es que no tengo un asimiento firme en lo que homología es "contar" en general (más allá de curso "ciclos modulo límites") y por qué yo podría mover a un grupo diferente de otros que comptuational facilidad.
(a) Una manera de visualizar la homología es pensar celular de homología. Aquí, se forma un complejo de cadena que es libre de abelian en el número de células en cada dimensión, y nuestro diferencial está determinado por los grados de los distintos adjuntar mapas. De alguna manera esto se mide torcido hacia arriba y lejos de nuestra CW-complejo de ser solo una cuña de las esferas. En el caso de $\mathbb{R}P^{n}$, por ejemplo, hay sólo una celda en cada dimensión, y de los grados de la fijación de los mapas están bien $0$ o $2$; en particular, son los de siempre, incluso! Así que si tomamos celular homología con $\mathbb{Z}/2$ coeficientes, los mapas que todos se convierten en cero. En el caso de $\mathbb{C}P^n$, hay demasiado espacio entre dimensiones para que nada le suceda, por lo que "se ve" como una cuña de las esferas, según la homología. El resultado es que el álgebra simplifica en gran medida para ciertas decisiones de los coeficientes de porque puede simplificar o deshacerse de las diferencias en el celular de la cadena de complejos.
(b) a Menudo tiendo a pensar que de $H_*(-, \mathbb{Z})$ como ser singular homología, y otras opciones de coeficientes sólo una manera conveniente de organizar el álgebra (esto se justifica por el universal coeficiente teorema). Escoger los coeficientes en una cierta característica puede aislar los fenómenos en los que la característica, o hacer que ciertos problemas se desvanecen. Desde el celular perspectiva parece que las cosas se desvanecen (ya que usted está haciendo más cerca de una cuña de esferas)... sin embargo, parece que para otros invariantes te las arreglas para aislar las cosas. Esto por lo general tiene que ver con la torsión... Es útil para trabajar a través de algunos ejemplos de otros que sólo proyectiva del espacio: recomiendo la lente de espacios.
...si hay algún tipo de estructura en un grupo apropiado de acción en algo relacionado con algo de espacio debo de esperar para ver la estructura correspondiente al ver la homología de grupos de ese espacio con ese grupo como los coeficientes?
(a) Es lamentable que los dos diferentes $\mathbb{Z}/2$'s aquí tienen el mismo nombre. Lo importante aquí es que el grupo $C_2$ está haciendo la actuación y de su orden es divisible por $2$, y así las cosas se comportan de forma diferente con coeficientes en $\mathbb{Z}/2$ frente al $\mathbb{Z}/p$ para los impares, números primos. Esto generaliza: si usted tiene un grupo finito $G$ que actúa sobre un espacio, $X$, entonces las cosas con coeficientes en $\mathbb{Z}/p$ se comportan de forma diferente dependiendo de si o no $p$ divide $\vert G\vert$. Una sugerencia es la siguiente: Una acción de $G$ desciende a una acción en el singular complejo de cadena con coeficientes en lo que sea (por ejemplo, campo) $k$ estás usando, y así que usted tiene un montón de espacios vectoriales con acciones de $G$, es decir, un montón de representaciones de $G$. Ahora, resulta que la teoría de representaciones de grupos finitos se comporta de manera muy diferente en el carácter $p$ dependiendo de si o no $p$ divide al orden del grupo.
(b) la Parte (a) puede ser aún más preciso... resulta que hay un especial de la teoría de la homología de $G$-llamados espacios (Borel) equivariant de homología. No voy a entrar en ello, pero tiene dos propiedades (1) tiene una relación muy estrecha con el grupo de homología y (2) a veces, el ordinario de la homología de $X/G$ sirve como una buena aproximación a la equivariant homología de $X$.
Y aquí están algunas de miscellaneous los comentarios relacionados con:
- Existe una noción de R-orientability para cualquier anillo de $R$; ver Hatcher. Esto podría ayudar a explicar algunas cosas. En particular, tenga en cuenta las secciones sobre la dualidad de Poincaré, que explica algunos de la regularidad vemos la hora de elegir particular de los coeficientes.
- Usted no tiene que ser demasiado exótico en su elección de anillo debido al siguiente Ejercicio: Demostrar que un mapa de $f: X \rightarrow Y$ induce un isomorfismo en todos los grupos de homología si y sólo si se induce un isomorfismo racional de homología y un isomorfismo en la homología con los coeficientes de $\mathbb{Z}/p$ todos los $p$. (En cierto sentido, este punto le dice que todas las diferentes opciones de los coeficientes puede hacer por usted es identificar torsión en diferentes primalidad.)
