¿Necesitamos la elección para demostrar que $|\mathbb{N} \times A| = |A|$ para todos los conjuntos infinitos $A$ ?

Question

No se me ocurre ninguna forma de probarlo sin elección.

Answer 1

Sí. Se necesita el axioma de elección. Para ver esto note que podemos demostrar lo siguiente (sin el axioma de elección):

$$|A\times\Bbb N|=|A|\iff |A\times\{0,1\}|=|A|.$$

Por tanto, basta con demostrar que es coherente que esta última falle. Para esto podemos tener muchos contraejemplos agradables. Mis favoritos son $\kappa$ -conjuntos amorfos.

Definición. Decimos que $A$ es $\kappa$ -amorfo, para un ordinal $\kappa$ si $|A|\nleq\kappa$ y para cada $B\subseteq A$ o bien $|B|<\kappa$ o $|A\setminus B|<\kappa$ .

Evidentemente, si dicho conjunto existe, entonces $|A|<|A\times\{0,1\}|$ ya que esta última puede dividirse en dos conjuntos ninguno de los cuales es menor que $\kappa$ en tamaño. Y tales conjuntos existen sistemáticamente.