Preguntas sobre Fubini ' teorema s

Question

1. Me preguntaba lo que el teorema de la(s) hace posible el intercambio de la orden de Lebesgue integrales, por ejemplo, en el siguiente ejemplo: $$\int\nolimits_0^1 \int_0^x \1 quad \quad dy dx = \int_0^1 \int_y^1 \1 quad \quad dx dy,$$ o, más generalmente, $$\int_0^1 \int_0^x \quad f(x,y) \quad dy dx = \int_0^1 \int_y^1 \quad f(x,y) \quad dx dy.$$ Yo no soy seguro de si es el teorema de Fubini porque tengo dudas con respecto a ella, en la siguiente parte.

2. En el teorema de Fubini:

   1. Debe el conjunto sobre el cual la doble/general integral se toma se un "rectángulo" subconjunto, es decir, $I_1 \times I_2$, en lugar de un general subconjunto en el espacio del producto?
   2. Debe el conjunto sobre el cual el interior integral no depende de la variable ficticia en el exterior de la integral?

   Las respuestas a las dos preguntas parecen ser "debe" y "no debe", basado en la Wikipedia y Planetmath.

Gracias y saludos!

Answer 1

$$ \int _0^1\int _0^xf(x,y)dydx=\int _0^1\int _0^1\chi _{[0,x]}(y)f(x,y)dydx $$

Ahora aplicar Fubini para obtener

$$ \int _0^1\int _0^xf(x,y)dydx=\int _0^1\int _0^1\chi _{[0,x]}(y)f(x,y)dxdy=\int _0^1\int _y^1f(x,y)dxdy, $$

donde he utilizado el hecho de que $\chi _{[0,x]}(y)=0$ si $y\leq x\leq 1$.

Techincally hablando, sólo se puede aplicar Fubini (o Tonelli) para una región rectangular. Para hacer más general de las regiones, tienes que jugar con las funciones características como acabo de hacer (o incluso hacer un cambio de variables) y , a continuación, aplicar Fubini (o Tonelli). Sin embargo, en la práctica, con un poco de intuición geométrica, usted puede averiguar lo que los límites deben estar sin hacer esto.

Answer 2

Imagina que estamos tratando de integrar la función de $f(x,y)$ más de algún tipo de extraña forma limitada, por ahora) de la región de el avión, que podemos denotar por $\Omega$. Sabemos que esta región se encuentra en algunas rectángulo $R$ si simplemente permitimos $R$ a ser lo suficientemente grande. A continuación, podemos extender nuestra función de $f(x,y)$ $R$ mediante el establecimiento $f \equiv 0$ en todos los puntos de $R$ no $\Omega$.

Entonces la integral doble sobre $\Omega$ es igual a la integral sobre la $R$, si es que existen. Y, entonces, el teorema de Fubini se aplica de forma extraña regiones.