Una secuencia exacta de grupos topológicos compactos.

Question

Deje que $A, B, C $ ser grupos topológicos abelianos de tal manera que tenemos la siguiente secuencia exacta : $$0 \to A \to B \to C \to 0. $$ Supongamos también que A, C son compactos y que todos los mapas están abiertos. Entonces es cierto que $B$ también es compacto?

Si esto es falso, me interesaría saber cómo fortalecer la hipótesis para que sea cierta. Si es cierto, también me interesaría de varias maneras para debilitar la hipótesis. En particular, me gustaría deshacerme de la hipótesis abierta si es posible.

Answer 1

Primero doy nombres a los mapas por

$$ 0 \to A \xrightarrow {f} B \xrightarrow {g} C \to 0. $$

Si $A$ está abierto en $B$ entonces considera

$$ B = \coprod_ {[x] \in B/A } x.A .$$

Ahora cada uno $x.A$ está abierto, así que esta es una tapa abierta de $B$ . Pero esto significa $C$ es discreto y compacto, así que $C$ es finito. Así que $B$ está cubierto por un número finito de conjuntos compactos abiertos así compactos.

Si $g$ no está abierto, esto en general no es cierto. Sólo considera el inclusión de $G_{ \text {discrete}}$ en $G$ para cualquier grupo topológico compacto.

Por cierto, si $B$ es compacto, entonces $B/A$ es compacto y por lo tanto el continuo homomorfismo bijectivo de $B/A$ a $C$ es un iso. Así que el $g$ es un mapa de cociente de grupos topológicos y por lo tanto abierto.

Así que $g$ tiene que estar necesariamente abierto. También podemos mostrar que $g$ es cerrado por este resultado. La pregunta interesante es qué sucede cuando $f$ no está abierto?