El Teorema Chino del Resto para Anillos.
Dejemos que $R$ sea un anillo y $I$ y $J$ sean ideales en $R$ tal que $I+J = R$ .
(a) Demuestre que para cualquier $r$ y $s$ en $R$ el sistema de ecuaciones \begin {align*} x & \equiv r \pmod {I} \\ x & \equiv s \pmod {J} \end {align*} tiene una solución.
(b) Además, demuestre que dos soluciones cualesquiera del sistema son congruentes modulo $I \cap J$ .
(c) Que $I$ y $J$ sean ideales en un anillo $R$ tal que $I + J = R$ . Demostrar que existe un isomorfismo de anillo $$ R/(I \cap J) \cong R/I \times R/J. $$
Solución: (a) Recordemos que $I + J = \{i + j : i \in I, j \in J\}$ .
Porque $I + J = R$ Hay $i \in I, j\in J$ con $i + j = 1$ .
La solución del sistema es $rj + si$ . Comprobamos ambas ecuaciones: \begin {align*} rj + si & \equiv rj \equiv ri + rj \equiv r(i + j) \equiv r \pmod {I} \\ rj + si & \equiv si \equiv si + sj \equiv s(i + j) \equiv s \pmod {J} \, . \end {align*}
(b) Supongamos que tenemos dos soluciones diferentes $x$ y $x'$ . Entonces \begin {align*} x & \equiv x' \pmod {I} \\ x & \equiv x' \pmod {J} \, , \end {align*} o de lo contrario uno de ellos ni siquiera sería una solución. Así que $x - x'$ está en $I$ y $J$ Por lo tanto $x - x' \in I \cap J$ y $x\equiv x' \pmod{I \cap J}$ .
(c) El producto cartesiano de dos anillos es un anillo, por lo que $R/I \times R/J$ es un anillo.
Miramos el mapa \begin {align*} \phi : R & \rightarrow R/I \times R/J \\ x & \mapsto (x + I, x + J) \N -, . \end {align*}
Los homomorfismos de anillo "por componentes" son homomorfismos de anillo, por lo que $\phi$ es un homomorfismo de anillo.
$\phi$ es suryente: por (a) para cualquier $r\in R/I, s\in R/J$ existe un $x \in R$ con $\phi(x) = (r, s)$ .
El núcleo de $\phi$ son las soluciones del sistema para $r = s = 0$ . Por (b) cualquier otra solución debe ser congruente con $0$ modulo $I \cap J$ Así que $\ker \phi = I \cap J$ .
Entonces por el primer teorema de isomorfismo para anillos $$R/\ker(\phi) \cong \phi(R)$$ obtenemos $$R/(I \cap J) \cong R/I \times R/J \, .$$
¿Podría comprobar, por favor, si mi solución es correcta? Gracias.
