El Teorema Chino del Resto para Anillos.
Dejemos que R sea un anillo y I y J sean ideales en R tal que I+J = R .
(a) Demuestre que para cualquier r y s en R el sistema de ecuaciones \begin {align*} x & \equiv r \pmod {I} \\ x & \equiv s \pmod {J} \end {align*} tiene una solución.
(b) Además, demuestre que dos soluciones cualesquiera del sistema son congruentes modulo I \cap J .
(c) Que I y J sean ideales en un anillo R tal que I + J = R . Demostrar que existe un isomorfismo de anillo R/(I \cap J) \cong R/I \times R/J.
Solución: (a) Recordemos que I + J = \{i + j : i \in I, j \in J\} .
Porque I + J = R Hay i \in I, j\in J con i + j = 1 .
La solución del sistema es rj + si . Comprobamos ambas ecuaciones: \begin {align*} rj + si & \equiv rj \equiv ri + rj \equiv r(i + j) \equiv r \pmod {I} \\ rj + si & \equiv si \equiv si + sj \equiv s(i + j) \equiv s \pmod {J} \, . \end {align*}
(b) Supongamos que tenemos dos soluciones diferentes x y x' . Entonces \begin {align*} x & \equiv x' \pmod {I} \\ x & \equiv x' \pmod {J} \, , \end {align*} o de lo contrario uno de ellos ni siquiera sería una solución. Así que x - x' está en I y J Por lo tanto x - x' \in I \cap J y x\equiv x' \pmod{I \cap J} .
(c) El producto cartesiano de dos anillos es un anillo, por lo que R/I \times R/J es un anillo.
Miramos el mapa \begin {align*} \phi : R & \rightarrow R/I \times R/J \\ x & \mapsto (x + I, x + J) \N -, . \end {align*}
Los homomorfismos de anillo "por componentes" son homomorfismos de anillo, por lo que \phi es un homomorfismo de anillo.
\phi es suryente: por (a) para cualquier r\in R/I, s\in R/J existe un x \in R con \phi(x) = (r, s) .
El núcleo de \phi son las soluciones del sistema para r = s = 0 . Por (b) cualquier otra solución debe ser congruente con 0 modulo I \cap J Así que \ker \phi = I \cap J .
Entonces por el primer teorema de isomorfismo para anillos R/\ker(\phi) \cong \phi(R) obtenemos R/(I \cap J) \cong R/I \times R/J \, .
¿Podría comprobar, por favor, si mi solución es correcta? Gracias.
