¿Cuál es la integral de 0?

Question

Estoy tratando de convencer a mi amigo de que la integral de $0$ es $C$, donde $C$ es una constante arbitraria. Parece que él no logra entender este concepto. ¿Pueden ayudarme aquí? Él sigue diciendo que es $0$.

Answer 1

Tomar la derivada de cualquier función constante es 0, es decir, $\frac {d}{dx} c = 0$. Entonces la integral indefinida $\int0 \,dx$ produce la clase de funciones constantes, es decir, $f(x) = c$ para algún $c.

Hay algo en lo que tienes que mirar aquí, eso es "¿qué pasa con el hecho de $\alpha \int f dx = \int \alpha f dx$?" ¿No puedes decir:

$$\int 0\,dx = \int 0 \cdot 1 \,dx = 0 \int 1 \,dx = 0x = 0$$

Esto da dos respuestas conflictivas. La pregunta es mucho más complicada de lo que piensas al principio. Pero cuando dices $\int f dx$ y el intervalo sobre el cual estás integrando no es obvio o no está definido, lo que realmente quieres decir es "la clase de funciones que, cuando se deriva con respecto a $x$, producen $f$". La regla mencionada solo se aplica para integrales definidas. Es decir:

$$\int_a^b\alpha f\,dx = \alpha \int_a^bf \,dx$$

Y si miras libros de análisis real (acabo de mirar a Rudin), esa es la forma en que encontrarás el teorema.

También cabe mencionar que la integral definida de $0$ sobre cualquier intervalo es $0$, ya que $\int 0 \,dx = c - c = 0.$

Answer 2

Estás en lo correcto, $\int 0 dx = 0 + C = C$

Tu amigo no está totalmente equivocado porque $C$ podría ser igual a $0$. es decir, si
$f(x) = 0$ es una antiderivada. Pero en general no conocemos el valor de $C$ a menos que nos den alguna condición inicial.

Answer 3

Enlace

Aquí entran en juego dos tipos de integrales. Las integrales definidas son las que describen el área real bajo una curva. Las integrales indefinidas son las que describen la anti-derivada.

No hay realmente ninguna paradoja. Cuando se habla de integrales indefinidas, la integral de $0$ es simplemente $0$ más la constante arbitraria usual, es decir,

$\int 0 \, dx = 0 + C = C $

No hay contradicción aquí. Al evaluar el área bajo una curva $f(x)$, encontramos la anti-derivada $F(x)$ y luego evaluamos desde $a$ hasta $b$:

$$\int^{b}_{a} f(X) \, dx = F(b) - F(a)$$

Entonces, para $f(x) = 0$, encontramos $F(x) = C$, y así $ F(b) - F(a) = C - C = 0$. Por lo tanto, el área total es cero, como esperábamos.

Answer 4

Las integrales indefinidas (antiderivadas) se conocen módulo una función constante. Con las integrales definidas, el caso es diferente: $$ \int_a^b0\,\mathrm{d}t=0 $$

Una forma de verificar que $C$ es la antiderivada de $0$ es simplemente $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}C=0 $$

Answer 5

¡Qué tal dibujar unas sumas superiores e inferiores! No llegarás muy lejos porque estarás casado con el eje horizontal y luego, por supuesto, todas las sumas son cero y dado que una integral definida siempre está atrapada entre cualquier suma superior y cualquier suma inferior. El valor está atrapado por 0. Es decir, 0 <= la integral <= 0. Esto por supuesto solo funciona para una integral definida. Si estás buscando una antiderivada, no debería ser muy difícil convencer a tu amigo de que solo las funciones constantes f(x) = C tienen pendiente cero.