Min de $\frac{a^{10}+ b^{10}}{a^{7}+ b^{7}} +\frac{b^{10}+ c^{10}}{b^{7}+ c^{7}} +\frac{c^{10}+ a^{10}}{c^{7}+ a^{7}} $

Question

Tengo este problema, he intentado varias veces resolverlo mediante muchas desigualdades pero me he quedado sin nada. Mi pregunta es cómo puedo obtener el valor mínimo de $$ \frac{a^{10}+ b^{10}}{a^{7}+ b^{7}} +\frac{b^{10}+ c^{10}}{b^{7}+ c^{7}} +\frac{c^{10}+ a^{10}}{c^{7}+ a^{7}} $$ si sabes que $a, b, c \in (0, \infty) $ y $ a+b+c=1$ ? ¿Alguna pista?

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $$(a^3-b^3)(a^7-b^7)\ge 0\tag{1}$$ así que $$2(a^{10}+b^{10})\ge (a^7+b^7)(a^3+b^3).\tag{2}$$ De ello se desprende que $$\frac{a^{10}+b^{10}}{a^7+b^7}+\frac{b^{10}+c^{10}}{b^7+c^7}+\frac{c^{10}+a^{10}}{c^7+a^7}\ge a^3+b^3+c^3.$$ Obsérvese que la igualdad se produce cuando $a=b=c$ . A continuación, demostramos que $a^3+b^3+c^3$ alcanza su mínimo también cuando $a=b=c$ . Esto se puede ver mostrando $$3(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)\frac{(a+b+c)^2}{3}\tag{3},$$ utilizando Desigualdad de reordenamiento que se puede demostrar como en (1) $\implies$ (2).

O podemos utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)\ge (a^2+b^2+c^2)^2\ge \frac{(a+b+c)^4}{3^2}.$$

Answer 2

Otra forma (aunque similar)... por la desigualdad de Chebyshev aplicada dos veces:

$$ \sum_{cyc} \frac{a^{10}+b^{10}}{a^7+b^7} \ge \sum_{cyc}\frac{a^3+b^3}2 = \sum_{cyc}a^3\ge \frac19(a+b+c)^3 =\frac19$$ con igualdad cuando $a=b=c=\frac13$ , así que ese es el mínimo.

Answer 3

$2(a^{10}+b^{10})\ge (a^7+b^7)(a^3+b^3)$ con la desigualdad de Chebishev, entonces $$\frac{a^{10}+b^{10}}{a^7+b^7}+\frac{b^{10}+c^{10}}{b^7+c^7}+\frac{a^{10}+c^{10}}{a^7+c^7} \ge a^3+b^3+c^3 \ge 3 (\frac{a+b+c}{3})^3=\frac{1}{9}$$ porque con la media de potencia tenemos $ (\frac{a^3+b^3+c^3}{3})^\frac{1}{3} \ge (\frac{a+b+c}{3})$