Prueba de convergencia para series

Question

Que $\space \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \space \left | \frac{\cos(n\pi)}{n+1}\right |$. ¿Esta serie converge o no?

La serie es válida para los números naturales, por lo que puede ser escrito como $\space \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \space \frac{\left |\cos(n\pi)\right |}{n+1}$.

Uno sabe que el $\space 0\leq\left |\cos(n\pi)\right |\leq 1$. Utilizando el concepto asintótico, uno puede decir que las condiciones de líder del superior e inferior de la fracción $\displaystyle \frac{1}{n}$.

Y por lo tanto, la serie original es equivalente a esta un $$\space \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \space \frac{1}{n}$ $

es una serie de $p$, donde $p\leq 1$ así que diverge y también la serie original. ¿Esto es correcto? Gracias.

Answer 1

No. Puesto que la serie de p que has considerado era sólo un límite superior para la serie, el hecho de que diverge a infinito le dice nada.

Answer 2

Desde $|\cos(n\pi)| = 1\;\; \forall n,\;$ tu serie es equivalente a:

$$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\left|(-1)^n\right|}{(n + 1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac {1}{n+1} $$

Eres "el clavo" con respecto a la comparación de su serie a la serie armónica: $\;\;\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \dfrac 1n,\;$ pero desde $\;\dfrac 1{n+1} \lt \dfrac 1n,\;$ usted puede notar que

$$\sum_{\color{blue}{\bf n = 1}}^\infty \frac 1{n+1} \quad = \quad \sum_{\color{blue}{\bf n = 2}}\frac 1n$$ y así, ahorrar para un término, su serie es la serie armónica, y diverge como el "estricto" de la serie armónica.

Si desea una mayor argumento, puede utilizar el límite de la prueba de comparación de su serie y el "estricto" de la serie armónica para probar su serie diverge.

$$\text{Poner, decir}\;\;a_n = \dfrac 1{n+1},\;\;b_n = \dfrac 1n \iff \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{1/(n+1)}{1/n} = \dfrac n{n+1}$$

$$\text{Then we have}\quad\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac n{n+1} = 1 < \infty$$

Desde que la serie armónica dada por $\sum b_n$ diverge, así también lo hace la serie.