Expansión de la fracción parcial de $\frac{1}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}$

Question

Intento encontrar una expansión parcial fracción de $\dfrac{1}{\prod_{k=0}^n (x+k)}$ (para calcular su integral). Después de comprobar algunos valores de $n$, me di cuenta que parece ser cierto que $\dfrac{n!}{\prod_{k=0}^n (x+k)}=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k{n \choose k}}{x+k}$. Sin embargo, no puedo pensar en una manera de probarlo. ¿Alguien por favor me puede ayudar?

Answer 1

Observe que: $$ \frac{1}{x(x+1)\cdots(x+n)} = \frac{1}{n} \frac{(x+n) - x}{x(x+1)\cdots(x+n)} = \frac{1}{n} \left(\frac{1}{x(x+1)\cdots(x+n-1)} - \frac{1}{(x+1)\cdots(x+n)}\right) $$

Esto le da una fórmula de recursión para la fracción parcial de expansión. Usted puede usarlo para comprobar sus conjeturas, y demostrar por inducción que si es cierto.

Véase también la respuesta: la Serie de los inversos de los coeficientes binomiales para otro enfoque.