Supongamos que $\mu, \nu$ son medidas de probabilidad de Borel en $\mathbb{R}$ y que $\mu^\infty$ y $\nu^\infty$ son los productos infinitos, en el sentido del teorema de la extensión de Kolmogorov, de $\mu$ y $\nu$ entre sí respectivamente. ¿Implica $\mu \ll \nu$ $\mu^\infty \ll \nu^\infty$? Si no es así, ¿qué haría esta hipótesis adicionales?
Respuesta
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Tan largo como $\mu$ $\nu$ son distintos, el infinito medidas del producto será de mutuo singular. De hecho, elegir un evento $B$$\mu(B)\not=\nu(B)$. Entonces $$ G:=\{x=(x_1,x_2,\ldots)\in {\Bbb R}^\infty: \lim_n n^{-1}\sum_{k=1}^n 1_B(x_k)=\mu(B)\} $$ satisface $\mu^\infty(G)=1$ pero $\nu^\infty(G)=0$ por la fuerte ley de los grandes números.
Una respuesta definitiva a este tipo de pregunta, cuando el factor de medidas de $\mu_1,\mu_2,\ldots$ $\nu_1,\nu_2,\ldots$ son permitidos dependen $n$,y satisfacer $\mu_n\sim\nu_n$ por cada $n$ (es decir, son mutuamente absolutamente continua) fue encontrado por S. Kakutani en la década de 1940. Véase "Sobre la Equivalencia de Infinito Medidas del Producto" Anales de las Matemáticas, Vol. 49 (1948) 214-224.
