Finito Proyectivo de Dimensión implica la no desaparición de Ext

Question

Supongamos que la dimensión proyectiva de un módulo de $M$$n < \infty$. ¿Existe un libre $R$-módulo de $F$ tal que $\operatorname{Ext}^n(M, F) \not = 0$?

No podemos escribir el módulo como una suma directa de $R$'s y, a continuación, sólo tenemos que mostrar $\operatorname{Ext}^n(M, R) \not = 0$? Así funciona esto en realidad para cualquier módulo?

Answer 1

Si haces la pregunta

si $M$ $R$- módulo proyectivo de dimensión $n$$\operatorname{Ext}^n(M,R)\neq0$?

entonces la respuesta es surpring: depende. Al $R=\mathbb Z$, esto es, esencialmente, conocido como Whitehead del problema y Sela demostrado que su respuesta depende de la configuración específica de la teoría que usted elija. De hecho, él mostró que, dependiendo de los antecedentes de la teoría de conjuntos, existen abelian grupos $M$ que no son libres (de modo que su dimensión proyectiva es $1$) tal que $\operatorname{Ext}^1(M,\mathbb Z)=0$, o no.

$$\bullet\bullet\bullet$$

Para la pregunta original en el que se mira sólo por un módulo:

Supongamos que el proyectiva resolución de $M$ termina con $$\cdots\leftarrow P_{n-1}\xleftarrow{\hskip2ex d\hskip2ex }P_n\leftarrow 0$$ and suppose $P_n$ is a direct summand of the free module $F$. Applying the functor $\hom(\mathord-,F)$ we get a complex ending with $$\cdots\to\hom(P_{n-1},F)\xrightarrow{\hskip2ex d^*\hskip2ex }\hom(P_n,F)\to0$$ $\operatorname{Ext}^1(M,F)$ is the cokernel of the map $d$. To show it is not zero, it is enough to show that $$ d no es surjective.

Ahora vamos a $i:P_n\to F$ ser la inclusión y deje $j:F\to P_n$ ser una retracción de $i$, por lo que el $ji=1_{P_n}$. El elemento $i\in\hom(P_n,F)$ no está en la imagen de $d$. De lo contrario, tendríamos un mapa de $r:P_{n-1}\to F$ tal que $rd=i$, por lo que la composición con $j$ tendríamos $jrd=ji=1_{P_n}$. De ello se desprende que $jr:P_{n-1}\to P_n$ es una retracción para el mapa de $d$. Esto es imposible, porque la dimensión proyectiva de $M$ es exactamente $n$.