Aclaración sobre el paso en basic $\delta$-$\epsilon$ límite de la prueba.

Question

Mi pregunta se refiere a el uso de la $\delta$-$\epsilon$ definición de un límite de demostrar que:

$\lim_{x\to2} x^2=4$

Ahora, en el libro en el que estoy trabajando, me pueden seguir casi todos los argumentos formulados en la prueba. La prueba se desarrolla de la siguiente manera:

Suponga $\epsilon > 0$, vamos a mostrar que existe una $\delta > 0$ tal que $\vert x^2-4 \vert < \epsilon$ siempre $0 < \vert x - 2 \vert < \delta$.

Vemos que $\vert x^2 - 4 \vert = \vert x -2 \vert \cdot \vert x + 2 \vert$. A continuación, para todos los $x\in (1,3)$ se sigue que $x+2 < 5$ e lo $\vert x + 2 \vert < 5$. Por lo tanto, dejar $\delta$ es el mínimo de $\epsilon/5$$1$, de ello se sigue que, si $0 < \vert x - 2 \vert < \delta$, luego

$$\vert x^2 - 4 \vert = \vert x - 2 \vert \cdot \vert x + 2 \vert < \frac{\epsilon}{5}\cdot 5 = \epsilon.$$

Pero ¿por qué decimos que el $\delta$ es el mínimo de $\epsilon/5$$1$? ¿Por qué no vamos a $\delta = \epsilon/5$? No estoy muy seguro de por qué mencionamos $1$ aquí.

Answer 1

Debido a $\varepsilon$ podría ser cualquier número positivo.

Si, por ejemplo, $\varepsilon=20$, $\delta=\varepsilon/5$ NO funciona. Decir $x=5$,$|x-2|=3< 4=\varepsilon/5$, pero $|x^2-4|=21>\varepsilon$!

Nota. Si tenemos una función de $f:\mathbb R\to\mathbb R$, lo que necesitamos para demostrar que es continua en a $x_0$, es generalmente conveniente para recoger un intervalo inicial $(x_0-d,x_0+d)$, donde buscamos $\delta=\delta(\varepsilon)$. Y como $x\in(x_0-d,x_0+d)$, claramente, $\delta(\varepsilon)\le d$.

Answer 2

Si usted toma el max, entonces no hay ninguna garantía de que usted será dentro de la $\delta$ rango de deseo. Ya tenemos $|x-2|$$|x+2|$, tomando el min de la epsilon valores garantía de que estamos dentro de$\delta$$2$.

Vaya aquí:

https://www.desmos.com/calculator/xyst8fw6vt

Copia de mis configuraciones y jugar con él para asegurarse de que usted entiende, es muy útil para ver visualmente.