¿Se cumple la regla de Leibniz para las integrales impropias?

Question

¿Esto es válido en general? $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,t) \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial t}f(x,t) \mathrm{d}x. $$ Sé que es cierto si los límites de la integral son finitos, pero ¿se puede extender el resultado a integrales impropias? Además, si es cierto en casos especiales, ¿cuáles son esos casos?

¡Muchas gracias!

Answer 1

No, la igualdad no se mantiene en general.

EJEMPLO $1$

Para un primer ejemplo, la integral $I(x)$ como se indica en

$$I(x)=\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(xt)}{t}\,dt$$

converge uniformemente para todo $|x|\ge \delta>0$ . Pero la integral de la derivada con respecto a $x$ , $\int_{-\infty}^\infty \cos(xt)\,dt$ diverge para todos los $x$ .

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EJEMPLO $2$

Como otro ejemplo, dejemos que $J(x)$ sea la integral dada por

$$J(x)=\int_0^\infty x^3e^{-x^2t}\,dt$$

Obviamente, $J(x)=x$ para todos $x$ y por lo tanto $J'(x)=1$ . Sin embargo,

$$\int_0^\infty (3x^2-2x^4t)e^{-x^2t}\,dt=\begin{cases}1&,x\ne 0\\\\0&,x=0\end{cases}$$

Por lo tanto, la diferenciación formal bajo el signo integral conduce a un resultado incorrecto para $x=0$ aunque todas las integrales implicadas sean absolutamente convergentes.

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Condiciones suficientes para diferenciar bajo la integral

Si $f(x,t)$ y $\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}$ son continuas para todo $x\in [a,b]$ y $t\in \mathbb{R}$ y si $\int_{-\infty}^\infty f(x,t)\,dt$ converge para algún $x_0\in[a,b]$ y $\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\,dt$ converge uniformemente para todo $x\in [a,b]$ entonces

$$\frac{d}{dx}\int_{-\infty}^\infty f(x,t)\,dt=\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\,dt$$