la teoría analítica de números, preocupante límite en la suma de $\varphi(n)$

Question

Estoy muy confundido acerca de esta vinculado, por favor, dame alguna sugerencia sobre cómo demostrarlo. (Nota: $a \ll b$ es sólo una más prolija forma de escribir $a = O(b)$)

Estoy empezando con el enlazado $$f(n) \ll \frac{n}{\log(n)^2}\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}$$

entonces no veo donde $\phi$ proviene de en $$\frac{n}{\log(n)^2}\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1} \ll \frac{\phi(n)}{\log(n)^2}$$ I know that $\phi(n) = n \prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ but I'm confused because of the $-1$ potencia.

Entonces $$\sum_{n\le x} f(n)^2 \ll \sum_{n\le x}\frac{\phi(n)^2}{\log(n)^2}$$ but I don't understand why it's not $\log(n)^4$ aunque se permite sustituir con una menor potencia en el denominador.

Y, finalmente,$$\sum_{n\le x}\frac{\phi(n)^2}{\log(n)^2} \ll \frac{x^3}{\log(x)^4}$$ and I have no idea how to get that last bound at all. I tried Abel summation which didn't help and I tried using $\ frac{\varphi(n)\sigma(n)}{n^2} < 1$ I've searched a lot of lecture notes and looked in Apostol and I don't see how to deduce it. One idea I had was that maybe it was a typo for $\log(x)^4$ in the denominator and they pulled that out, but that's not permitted since $n \le x$.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Parece que hay muy pocos errores ortográficos en todo - como usted ha notado. Yo tampoco entiendo por qué reescribir las cosas en términos de la $\phi$ función en todo el enlazado $\prod_{p|n} \left(1-\frac{1}{p}\right)\leq 1$ le parece suficiente. De todos modos, no estoy exactamente seguro de lo que está pasando aquí, pero te voy a dar mi interpretación, basada en la escasa información dada:

Supongo que el $-1$ en el exponente es incorrecta, y que debemos tener $$f(n)\ll \frac{n}{(\log n)^2}\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right).$$ From this it follows that $f(n)\ll \frac{\phi(n)}{(\log n)^2}$, and $$\sum_{n\leq x}f(n)^2 \ll \sum_{n\leq x}\frac{\phi(n)^2}{\log (n)^4},$$ where the power of $\log n$ in the denominator is $4$, not $2$. The sum on the right hand side is bounded above by $$\sum_{n\leq x} \frac{n^2}{\log (n)^4}\ll \sum_{\sqrt{x} \leq n\leq x} \frac{n^2}{\log (n)^4}.$$ On the range $\sqrt{x}\leq n\leq x$, $\log n \geq \frac{1}{2}\log x$, so the above is $$\ll \frac{1}{(\log x)^4}\sum_{\sqrt{x}\leq n\leq x} n^2 \ll \frac{x^3}{(\log x)^4}.$$ This implies that $$\sum_{n\leq x} f(n)^2 \ll \frac{x^3}{(\log x)^4}.$$

Espero que ayude.

Nota: Usted no puede hacerlo mejor, manteniendo el $\phi$ función, es decir, no se puede ganar un registro de esta forma, ya se puede probar que $$\sum_{n\leq x } \phi(n)^2 =K_1\frac{x^3}{3}(1+o(1))$$ where $$K_1=\prod_p\left(1-\frac{2}{p^2}+\frac{1}{p^3}\right)$$ es la Despreocupada Constante.

Observación 2: El $-1$ en el exponente en realidad no importa, pero parece extraño en el contexto. El obligado $$f(n)\ll \frac{n}{(\log n)^2} \prod_{p|n} \left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}$$ still implies the bound $$\sum_{n\leq x } f(n)^2 \ll \frac{x^3}{(\log x)^4}.$$