Jacobiano de funciones compuestas con diferente número de variables

Question

Se dice que es posible calcular el jacobiano de una función compuesta multiplicando los jacobianos de cada función, es decir

$$ J_f = J_{f_1} \cdot J_{f_2} \cdots J_{f_nx} $$ donde

$$ f = f_1 \circ f_2 \circ \cdots\circ f_n $$

Estoy tratando de hacer esto en ejemplos muy simples que no se comportan bien (donde los jacobianos no son matrices cuadradas), y no puedo conseguirlo. Espero que alguien pueda ayudarme a resolverlo (Cualquier clase o material externo también es bienvenido. No he podido encontrar ninguna pregunta relacionada).

dejar $$ f(x) = x^2 + x $$

Esto podría escribirse como $$ f_1(x, y) = x + y $$ $$ f_2(x) = x^2 $$ $$ f(x) = f_1(f_2(x), x) $$

Ahora sabemos que

$$ Jf_1 = [1, 1] $$ $$ Jf_2 = [2x] $$ Y luego $$ Jf = Jf_1 \cdot Jf_2 $$

Que no es un producto válido. ¿Qué hacer en este caso? Forzar ambas matrices como 2x2 parece llevar a una solución no válida:

Jf1 = [1, 1]
      [0, 0]

Jf2 = [2x 0]
      [0  0]

Jf1 * Jf2 = [2x 0]
            [0  0]

(Significaría que df/dx = 2x). ¿Qué me falta?

Answer 1

Tenga en cuenta que está componiendo las siguientes funciones:

$$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, \quad f(x,y)=x+y$$ y

$$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2, \quad g(x,y)=(x^2,0).$$

Ahora, usted tiene $$J(f\circ g)=J(f)J(g).$$ En efecto,

$$J(f\circ g)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 2x\\ 0\end{array}\right)=(2x).$$