El siguiente es un resultado que me parece haber visto de alguna manera antes, pero no puedo averiguar cómo probar o encontrar una referencia para. Supongamos que tenemos un mapa p:E \to B, con B paracompacto, y supongamos que cada punto de B tiene una vecindad U tal que existe un mapa p^{-1}(U) \to U \times F sobre U que es una equivalencia de homotopía de fibra. ¿Se deduce que p es una fibración de Hurewicz? Lo contrario, si B es localmente contractible, es estándar: una fibración de Hurewicz es localmente equivalente a un producto.
Respuestas
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Joseph Sturtevant
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Creo que esto puede ser extraído de Spanier del libro. En el Capítulo 2.7, su Teorema 13 dice que si B es un paracompact espacio de Hausdorff, entonces un mapa p:E-->B es un fibration si y sólo si es un local fibration. Por un local fibration, quiere decir que hay un cubrimiento {U_{\alpha}} de B tal que para todos \alpha, el mapa p restringido a p^{-1}(U_{\alpha}) es un fibration. Estoy bastante seguro de que la condición se describen implica esto.
La respuesta es no; Allen Hatcher me envió lo siguiente:
Un ejemplo en el que esto falla es la proyección de la letra L sobre su base horizontal, que llamaré B. La retracción de la deformación de L sobre B es una equivalencia de homotopía fibrosa. La propiedad de elevación de homotopía falla: Se mapea un punto en el extremo izquierdo de B, luego se eleva a un punto de L - B y se toma una homotopía que mueve el extremo izquierdo de B al extremo derecho.
