Considere la siguiente secuencia de números naturales,
$$M_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 4^k$$
Podemos interpretar $M_n$ como la cardinalidad del conjunto de $X$ $(2\times n)$- matrices con entradas en $\{-1,0,1\}$ que tienen el mismo número de ceros en las dos filas. Mi pregunta es sobre el comportamiento asintótico de esta secuencia. Debe ser de la forma
$$M_n \sim C \frac{9^n}{\sqrt{\pi n}}$$
pero soy incapaz de calcular la constante de $C$.
Lo que soy capaz de conseguir es que el $\sqrt{2}/2 \leq C \leq 3/2$. Yo comente brevemente cómo puedo conseguir estos límites.
Límite inferior: De todas las $2\times n$ matrices que tienen exactamente $2p$ filas de la forma $\binom{\pm 1}{0}$ o $\binom{0}{\pm 1}$, sólo aquellos que tienen exactamente $p$ filas de cada uno de los dos tipos están en el conjunto $X$. La proporción es de lo $\binom{2p}{p}/{2^{2p}}$ . Hay esencialmente $9^n/2$ matrices con entradas de $\{-1,0,1\}$, e incluso el número de $\binom{\pm 1}{0}$ o $\binom{0}{\pm 1}$ entires, así que podemos escribir $$M_n > \min_{2p\leq n}\left\{\binom{2p}{p}2^{-2p}\right\} \cdot 9^n/2$$ La secuencia para minimizar está disminuyendo, por lo que (supongamos $n$ es incluso por simplicidad) $$M_n > \binom{2n}{n}2^{-2n} \cdot 9^n/2$$ y la aplicación de Stirling de la fórmula, se obtiene el límite inferior.
Límite superior: Si fijamos una fila inferior $F$ $p$ muchos ceros, $k_p = 2^{n-p} \binom{n}{p}$ matrices en cuya fila inferior es F. Desde allí se $3^n$ posible filas, podemos obligado, $$M_n < 3^n \max_{p\leq n}k_p$$ Este máximo puede ser calculada por mirar el cociente $k_{p+1}/k_p$ y se verifica que se logra fundamentalmente a $p = n/3$, por lo que $$M_n < 3^n \cdot 2^{2n/3}\binom{n}{n/3}$$ y aplicando de nuevo la fórmula de Stirling obtenemos el límite superior.
