raíz cuadrada / factor de problema $(A/B)^{13} - (B/A)^{13}$

Question

Vamos $A=\sqrt{13+\sqrt{1}}+\sqrt{13+\sqrt{2}}+\sqrt{13+\sqrt{3}}+\cdots+\sqrt{13+\sqrt{168}}$ y $B=\sqrt{13-\sqrt{1}}+\sqrt{13-\sqrt{2}}+\sqrt{13-\sqrt{3}}+\cdots+\sqrt{13-\sqrt{168}}$.

Evaluar $(\frac{A}{B})^{13}-(\frac{B}{A})^{13}$.

Por Calculadora, he a$\frac{A}{B}=\sqrt{2}+1$$\frac{B}{A}=\sqrt{2}-1$.

Pero, no sé cómo. Tiene alguien alguna idea acerca de esto.

Answer 1

Esto me tomó algún tiempo para resolver. Aquí vamos:

En primer lugar, nos encontramos con esto:

$$\begin{aligned} (\sqrt{13+\sqrt{a}}-\sqrt{13-\sqrt{a}})^2 &=13+\sqrt{a}+13-\sqrt{a}-2\sqrt{13+\sqrt{a}}\sqrt{13-\sqrt{a}}\\ &=2(13-\sqrt{169-a}) \end{aligned}$$

Así,

$$\sqrt{13+\sqrt{a}}-\sqrt{13-\sqrt{a}}=\sqrt{2}\sqrt{13-\sqrt{169-a}}$$

Por lo que, debemos escribir,

$A-B=\sqrt{2}B$

Lo que se utiliza aquí es el hecho de que me he registrado durante todos los $a$$1$$168$, y que sumando con $\sqrt{169-a}$ es lo mismo que sumar con $\sqrt{a}$ en esta pregunta.

Ahora, tenemos $A=(1+\sqrt{2})B$

Por lo tanto, $\frac{A}{B}=1+\sqrt{2}$ $\frac{B}{A}=\sqrt{2}-1$

Acabamos de calcular el $(\frac{A}{B})^{13}$ $(\frac{B}{A})^{13}$ que creo que es bueno hacer uso de la calculadora. Otra cosa, comentario, así que puedo editar mi respuesta.

Answer 2

Vamos $$A=\sum_{n=1}^{168}\sqrt{13+\sqrt{n}},B=\sum_{n=1}^{168}\sqrt{13-\sqrt{n}}$$ desde $$\sqrt{2}A=\sum_{n=1}^{168}\sqrt{26+2\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{168}\left(\sqrt{13+\sqrt{169-n}}+\sqrt{13-\sqrt{169-n}}\right)=A+B$$ so we have $x=\dfrac{A}{B}=\sqrt{2}$,entonces tenemos $$x=\sqrt{2}+1,\dfrac{1}{x}=\sqrt{2}-1\Longrightarrow x+\dfrac{1}{x}=2\sqrt{2}$$ vamos $$a_{n}=x^n-x^{-n}$$ uso esta bien saber la identidad $$a_{n+2}=(x+\dfrac{1}{x})a_{n+1}-a_{n}\Longrightarrow a_{n+2}=2\sqrt{2}a_{n+1}-a_{n}$$ $$a_{1}=2,a_{2}=4\sqrt{2}$$ así $$a_{3}=2\sqrt{2}a_{2}-a_{1}=16-2=14$$ $$a_{4}=2\sqrt{2}a_{3}-a_{2}=28\sqrt{2}-4\sqrt{2}=24\sqrt{2}$$ $$a_{5}=2\sqrt{2}a_{4}-a_{3}=96-14=82$$ $$\cdots$$