Se me ha pegado en este ejercicio durante demasiado tiempo:
Mostrar que si $a$ $m$ son enteros positivos con $(a,b)=(a-1,m)=1$, luego $$1+a+a^2+\cdots+a^{\phi(m)-1}\equiv0\pmod m.$$
Primero de todo, yo sé que $$1+a+a^2+\cdots+a^{\phi(m)-1}=\frac{a^{\phi(m)-2}-1}{a-1},$$ y por el teorema de Euler, $$a^{\phi(m)}\equiv1\pmod m.$$ Ahora, debido a $(a,m)=1$, tenemos $$a^{\phi(m)-2}\equiv a^{-2}\pmod m,$$ $$a^{\phi(m)-2}-1\equiv a^{-2}-1\pmod m,$$ y debido a que $(a-1,m)=1$, $$\frac{a^{\phi(m)-2}-1}{a-1}\equiv\frac{a^{-2}-1}{a-1}\pmod m,$$ $$1+a+a^2+\cdots+a^{\phi(m)-1}\equiv\frac{a^{-2}-1}{a-1}\pmod m.$$ Sin embargo, me quedo atascado aquí. Es allí una manera de mostrar que el lado derecho de la última expresión es congruente a cero el módulo de $m$? Gracias de antemano!
Nota: yo en realidad no sé si estoy de abordar este problema correctamente, para empezar.
