Considere la posibilidad de espacios medibles $(\Omega_t,\mathcal{A}_t), t\in T$ ($T$ es cualquier conjunto de índices). Con $\mathcal{E}(T)$ el conjunto de todos finito, no-vacío subconjuntos de a $T$. Mostrar que $$ \mathfrak{Z}:=\mathfrak{Z}(\mathcal{A}_t: t\T):=\bigcup_{S\in\mathcal{E}(T)}\underbrace{\left\{\times_{t\T}A_t: A_t\in\mathcal{A}_t, t\in S; A_t=\Omega_t, t\T\setminus S\right\}}_{=:\mathfrak{K}_S} $$ es un semi anillo.
La primera cosa que tengo que mostrar es que el $\emptyset\in\mathfrak{Z}$. Para mostrar esto acaba de tomar cualquier $S\in\mathcal{E}(T)$ y elija $A_t=\emptyset$$t\in S$.
La segunda cosa que tengo que mostrar es, que para$x,y\in\mathfrak{Z}$$x\cap y\in\mathfrak{Z}$. Creo que es fácil, y también:
Suponga que $x,y\in\mathfrak{Z}$. Luego hay un $S_1\in\mathcal{E}(T)$, de modo que $x\in \mathfrak{K}_{S_1}$$S_2\in\mathfrak{E}(T)$, de modo que $y\in \mathfrak{K}_{S_2}$. A continuación,$S_1\cup S_2\in\mathcal{E}(T)$$x\cap y\in\mathfrak{K}_{S_1\cup S_2}\in\mathfrak{Z}$.
La última cosa que mostrar es la más difícil para mí. Es para mostrar que, para $x,y\in\mathfrak{Z}, x\subset y$ hay una cantidad finita distintos conjuntos de $c_1,\ldots c_n$, de modo que $$ y\setminus x=\biguplus_{k=1}^{n} c_k. $$ Realmente no sé cómo demostrar que.
Mi primera idea es:
Si $x,y\in\mathfrak{Z},x\subset y$, entonces no es un $S\in\mathcal{E}(T): x,y\in\mathfrak{K}_S$.
Deje $y$ $y=\times_{t\in T}A_t$ $A_t\in\mathcal{A}_t$ $t\in S$ $A_t=\Omega_t$ $t\in T\setminus S$ $x$ $x=\times_{t\in T}B_t$ $B_t\in\mathcal{A}_t$ si $t\in S$ $B_t=\Omega_t$ si $t\in T\setminus S$.
Entonces, a mi entender, es $$ y\setminus x=\times_{t\T}C_t, C_t=B_t\setminus A_t, t\in S; C_t=\Omega_t, t\T\setminus S. $$
Pero ahora no sé cómo escribir esto como un discontinuo de la unión de los conjuntos de $c_1,\ldots c_n$.
Sería genial aquí si mis últimos resultados están bien y, a continuación, para obtener un poco de ayuda para finalizar la tercera cosa necesaria.
Con saludos
