¿En grupos abelianos: es $[G:2G]\leq 2$?

Question

Que $G$ es un Grupo abeliano. ¿Es verdad que el $[G:2G]\leq 2$?

A veces puede ser $1$ (digo, cuando $G=\mathbb{Z}_3$), pero nunca parece ser más que $2$.

Answer 1

Sugerencia: ¿Dado cualquier dos abelian grupos $G$ y $H$, si dejamos que $K=G\times H$, y $2K=2G\times 2H$ y $$K/2K\cong (G/2G)\times(H/2H).$ $ lo que hace este medio sobre la cardinalidad de $K/2K$, es decir, el índice de $[K:2K]$? ¿Le da alguna idea para encontrar un contraejemplo a la conjetura?