Aproximación de $\log(x)$ como una combinación lineal de $\log(2)$ $\log(3)$

Question

Me pregunto si es posible aproximar $\log(n)$, n entero, mediante el uso de una combinación lineal de $\log(2)$$\log(3)$.

Más formalmente, dado entero $n$ y real $\epsilon>0$, es siempre posible encontrar entero $x,a,b$ donde:

$$\left|n^x-2^a 3^b\right|<\epsilon$$

Por ejemplo, puedo aproximado de $11$ $$2^{-33} 3^{23}=10.959708460955880582332611083984375 \approx 10.96.$$

Answer 1

Sí.

Deje $a=\frac{\log(2)}{\log(3)}$. A continuación, $a$ es irracional, por lo tanto, por Dirichclet Teorema, el conjunto $\{ ma+n | m,n \in Z \}$ es densa. Por lo tanto, existe cierta $m,n \in Z$, de modo que

$$\left| \frac{\log(n)}{\log(3)} - ma -k \right| < \frac{\epsilon}{\log(3)}$$

Multiplicar por $\log(3)$ y listo.

P. S. es irrelevante que el $n$ es un entero. También, la prueba de que funciona si se reemplaza $2$ $3$ por cualquier número $x,y$, de modo que $\log_x(y)$ es irracional.

P. P. S. yo creo que para $n$ positivo entero, es suficiente el uso de una $\log(2)$. De hecho, si $n$ es una potencia de 2, se realiza, de lo contrario, $\frac{\log(n)}{\log(2)}$ es irracional y, a continuación, el conjunto de $m\frac{\log(n)}{\log(2)} - k$ es densa. Por lo tanto, usted puede encontrar algunos de los números enteros, de manera que

$$\left|m\frac{\log(n)}{\log(2)} - k \right| < \frac{\epsilon}{\log(2)}$$

Por supuesto, usted consigue racional de los coeficientes en este caso.