Una sombra de casino organiza un simple juego con reglas que siguen:
1 se rueda el dado.
- Si cae en una incluso, la casa gana.
- Si cae en un número impar, el jugador gana.
Sin embargo, si el jugador pierde, él puede llevar el juego a un mejor de 3.
Si él gana el mejor de tres, gana en general.
Si él pierde el mejor de los tres, él puede llevar el juego a un mejor de 5 a intentar ganar.
Si él pierde al mejor de cinco, que puede tomar el juego a un mejor de 7, entonces lo mejor de 9, 11, 13 y así sucesivamente.
(En otras palabras, es el tipo de juego trampa de la que es representada en las películas, con algún desafortunado persona pidiendo otra oportunidad como llega arrastrado por unos gamberros.)
Deje $n$ el número total de juegos jugados.
Si sigues llevando el juego a un mejor de el siguiente número impar hasta que usted gana, todo el camino a un mejor de (impar) infinito, ¿cuál es la probabilidad total de que la ganancia total?
Y por el bien de los cálculos, vamos a la posibilidad de que el jugador ganar y ser $\dfrac{1}{4}$, y la pérdida de ser $\dfrac{3}{4}$ debido a la casa mediante un promedio ponderado de morir.
No hay una respuesta real a la pregunta? Si es así, ¿cómo?
He empezado mirando series infinitas y de permutaciones (listado de los resultados como números binarios, 1=ganar 0=pérdida), pero yo sólo tengo hasta el momento antes de llegar completamente atascado.
Pensé en dividirlo en las posibilidades de ganar en la B o $N$ (el mejor de $n$), de tal manera que el número de premios siempre es mayor que las pérdidas por exactamente $1$. Esto lo hacen para que yo pueda ignorar los resultados con el exceso de gana, y otras con exceso de pérdidas (como que a la larga podría ser mirado como n aumenta).
(En aras de la claridad, $W$=win $L$=pérdida) Por ejemplo: $LWWWW$ (mejor de 5), puede ser ignorada, ya que es considerado ya en $LWW$ (mejor de 3) lo cual resulta en un triunfo y un fin a la secuencia de los juegos.
Esto daría lugar a: $\displaystyle \binom{n}{\frac{n+1}{2}} \cdot P(W)^\frac{n+1}{2} \cdot P(L)^\frac{n-1}{2}%$
Sin embargo, esto sólo se ocupa de redundante combinaciones de resultados, y deja a muchos redundante permutaciones de los resultados del juego todavía, como cualquier secuencia que comienza con una victoria (por ejemplo. $WLW$ también es contado aunque $W$ (el mejor de $1$) debe finalizar la secuencia, $LWWLW$ es contada aunque $LWW$ (mejor de 3) debe terminar la secuencia).
Esto lleva a algunos difíciles de permutación de las matemáticas (creo) que he escasos de ideas sobre cómo hacerlo, todos los cuales están más allá de mí.
ACTUALIZACIÓN
Puse algo de código para averiguar las diferentes formas de ganar y un montón de otras cosas relacionadas con.
Por desgracia empieza a tomar un tiempo después de llegar a la mejor de las 13.
Independientemente, el total acumulativa de probabilidad de ganar hasta al mejor de 13 (utilizando el promedio ponderado de morir) va (redondeado a 3 d.p.):
- 0.250
- 0.297
- 0.314
- De 0,323
- 0.327
- 0.329
- 0.331
Definitivamente se ve como su tendiendo a un número, pero no puedo estar seguro de si lo miramos desde un punto de vista estadístico.
También hice el programa de salida de la serie de útiles permutaciones (es decir. no empezar con una victoria ni una secuencia que conduce a la victoria de un pequeño 'lo mejor de' la ronda) para cada uno de los 'best of' de hasta 13 años. Van:
- 1
- 1
- 2
- 5
- 14
- 42
- 132
Estas cifras son consistentes con las permutaciones anoté y marcada a mano (bueno, me dio hasta después de la mejor de las 9, 42 11-carta-largas secuencias es un poco loco).
Todas estas estadísticas a un lado, todavía estoy buscando alguna forma lógica de hacer esto. Tal vez estas cifras podrían ayudar?
