Construir un subconjunto mensurable de Lebesgue A $\mathbb{R}$ así que para todos los reales $a<b$, $$ 0 < m(A\cap(a,b)) < b-a $$ under the usual Lebesgue measure $m$.
Y eso si $m(A\cap(a,b))\leq\frac{b-a}{2}$ para cualquier $a<b\in\mathbb{R}$, entonces el $m(A)=0$.
La respuesta a la primera parte es un dublicate, pero en cuanto a lo poco segundo me siento confundido. ¿Pensamientos? Gracias por la ayuda.
Para tu segunda pregunta, esta es una consecuencia inmediata del siguiente lema:
Si es mensurable con $E$ $m(E)>0$, entonces para cada $0<\alpha<1$, existe abierto intervalo $I$ así que $m(E\cap I)\geq \alpha m(I)$.
Para probar este lema, elige un conjunto % abierto $\mathcal{O}$que contiene $E$ $m(\mathcal{O}\setminus E) <\varepsilon$, tenga en cuenta que $\mathcal{O}$ es una Unión contable de intervalos disjuntos. Ahora demostrar por contradicción.
La segunda parte es inmediata del teorema de Lebesgue. Para la primera parte, usted tiene que construir una secuencia de Cantor como conjuntos de positivo medirán y toman su unión. Después de construir un conjunto de Cantor de medida positiva lo mismo en cada uno de los intervalos quitados y así sucesivamente. La Unión de todos los conjuntos de Cantor tiene las propiedades deseadas.
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