valor mínimo de$f(t) = 10t^6-24t^5+15t^4+40t^2+108$ sin derivado

Question

valor mínimo de$f(t) = 10t^6-24t^5+15t^4+40t^2+108$ sin derivado

para$t\leq 0$ valor de la función$f(t)\geq 108$

i wan, t ser capaz de proceder después de eso, podría algunos me ayudan con esto

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align} f(t) &= 10t^6-24t^5+15t^4+40t^2+108 \\ &= 10t^4\left(t^2-\dfrac{12}{5}t+\dfrac{3}{2}\right)+40t^2+108 \\ &= 10t^4\left(t^2-\dfrac{12}{5}t+\dfrac{36}{25}+\dfrac{3}{50}\right)+40t^2+108 \\ &= 10t^4\left(\left(t-\dfrac{6}{5}\right)^2+\dfrac{3}{50}\right)+40t^2+108. \end {align}

Ahora, ¿puede mostrar que$f(t) \ge 108$ para todos los% reales$t$?

Answer 2

Miremos a $f(t)-108$. Uno tiene

ps

Ahora echemos un vistazo a$$f(t)-108=t^2\left(10t^4-24t^3+15t^2+40\right)=t^2g(t)$

ps

El factor cuadrático de$g(t)-40$ tiene discriminante$$g(t)-40=t^2\left(10t^2-24t+15\right)$. Por lo tanto, tiene el signo de su coeficiente líder$g(t)$ y así$\delta=144-150=-6$. Y esto significa que$+10$ ie$g(t)\gt 40$ es el mínimo que buscamos.

Answer 3

para entonces $t\leq 0\;,$

para entonces $f(t) = 10t^6-24t^5+15t^4+40t^2+108\geq 108$

$t\geq 0\;,$

$f(t) = t^2(10t^4+15t^2-24t^3)+108\geq t^2(2\sqrt{10t^4\cdot 15t^2}-24t^3)+108$ para todos los valores reales de$\Rightarrow f(t) =t^2(10t^4+15t^2-24t^3)+108\geq t^2(10\sqrt{6}-24t^3)+108\geq 108$