Multiplicación de enteros frente a la notación "múltiple" en el álgebra abstracta

Question

En mi texto de álgebra abstracta, el autor utiliza la notación "múltiple". Digamos que tienes un campo $F$ que contiene $a,b$ . Considere una ecuación como $a^2 + 2ab + b^2 = 0$ . El $2ab$ es la abreviatura de $ab + ab$ en lugar del entero literal $2$ multiplicado por $ab$ .

Al realizar cálculos de alto nivel en la teoría de campos, me encuentro con esta notación y siempre me pregunto si se me permite, por ejemplo, dividir ambos lados de $a^2+b^2 = -2ab$ por $2$ . ¿Puede alguien aclarar en qué situaciones coinciden esta notación múltiple y la multiplicación de enteros?

Answer 1

Los enteros son elementos de un campo. Por ejemplo, $1$ es la identidad multiplicativa, $2=1+1$ , $3=1+1+1$ , $4=1+1+1+1$ , $5=1+1+1+1+1$ y así sucesivamente. También, $-1$ es la inversa aditiva de $1$ , $-2$ es la inversa aditiva de $2$ , $-3$ es la inversa aditiva de $3$ y así sucesivamente. Por lo tanto, puedes tratarlos como elementos regulares y sumar, restar y multiplicar ecuaciones por enteros.

Sin embargo, con la división, hay que tener cuidado porque se puede dividir accidentalmente por $0$ . Por ejemplo, en $\Bbb{Z}_2=\{0, 1\}$ , $2=1+1=0$ , por lo que no se puede dividir por $2$ porque $2=0$ . Esto puede llegar a ser un poco impar, pero con el tiempo, te volverás desconfiado de la división, así que siempre que dividas por un entero, comprueba la característica del campo y asegúrate de que no estás dividiendo por $0$ .

Observe que $2ab=ab+ab$ debido a la propiedad distributiva:

$$2ab=(1+1)ab=1(ab)+1(ab)=ab+ab$$

Una lógica similar se aplica a la multiplicación por otros números enteros, por lo que la notación "múltiple" de su libro es coherente con esta definición de número entero.