Intuición de la regla de la cadena multivariable

Question

Yo estaba aprendiendo/la revisión de la regla de la cadena para el cálculo multivariable y se preguntaba por qué el cálculo multivariable regla de la cadena es una función de la suma de los productos de derivados en lugar de sólo producto de los derivados, al igual que su única variable de la parte contraria.

En particular, quiero arreglar lo que yo pienso de la regla de la cadena y generalizar mis pensamientos/intuición a múltiples variables.

Generalmente la forma en que solía recordar la regla de la cadena fue por la costumbre "truco" de "cancelar" la media de las variables ficticias es decir, considerar y = f(x(t)), entonces:

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt} $$

y desde el dx es cancelada, la regla de la cadena funciona! Wohooo, super intuitivo, fácil de recordar y aunque no matemáticamente riguroso, al menos es algo de sentido.

Sin embargo, por múltiples variables de la ecuación se ve muy diferente. Considere la posibilidad de $z = f(x(t), y(t) )$, entonces su regla de la cadena derivada es:

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} $$

Aunque hay algunos de la misma "cancelar" truco de la ecuación, no tanto intuitiva sentido para mí o de donde vino.

Entonces, ¿qué es la intuición detrás de esta ecuación? ¿Por qué es una suma de productos de los derivados? Alguien tiene una buena forma de generalizar la intuición de una variable a múltiples variables? O tal vez tenemos que cambiar nuestra intuición de una manera significativa y que está bien, siempre y cuando sus más útil para varias variables cálculo!

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Comentario rápido, por intuición, no necesariamente significa que las analogías con la física, pero puede ser a las ideas conceptuales en matemáticas. Así que traer explicaciones decir de análisis real y de álgebra lineal que apelar a la intuición y los conceptos de esas áreas son bienvenidos! Todos tenemos diferente tipo de intuiciones. :)

Answer 1

El problema con la intuición acerca de la cancelación de los diferenciales, no es seguro. Y, sin embargo, el método de las diferencias es estúpidamente éxito.

Permítanme darles un ejemplo estándar de intuiciones caída. En primer lugar, desde los parciales cancelar, $$ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z} = 1$$ excepto, no. En realidad, con la correcta interpretación, $$ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z} = -1.$$ En particular, suponemos $x,y,z$ están relacionados por algún nivel de función $F(x,y,z)=0$$dF = F_xdx+F_ydy+F_zdz$, con lo que $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{dz}{dy}\bigg{|}_{dx=0} = -\frac{F_y}{F_z}$$ con más palabras, si tenemos en cuenta $z$ como una función de la $x,y$, entonces la derivada parcial de $z$, mientras que la celebración de $x$ fijo es $-F_y/F_z$. Aviso, yo simplemente tomar el diferencial total de $F$ y resolver para $dz/dy$, mientras que el establecimiento $dx=0$. Este es un ejemplo de cómo el diferencial de la notación es ingenuamente éxito (porque, cuidado de aplicación del teorema de la función implícita se obtiene el mismo resultado). Asimismo, intuitiva cálculo con $dx,dy,dz$ rendimientos $$ \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{dy}{dx}\bigg{|}_{dz=0} = -\frac{F_x}{F_y}$$ $$ \frac{\partial x}{\partial z} = \frac{dx}{dz}\bigg{|}_{dy=0} = -\frac{F_z}{F_x}$$ Por lo tanto, $$ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z} = \left(-\frac{F_y}{F_z}\right)\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)\left(-\frac{F_z}{F_x}\right) = -1.$$

Volviendo a tu planteado. ¿Por qué hay cantidades de derivados? Bueno, en resumen, debido a las múltiples variables de la función se puede cambiar en todos sus argumentos. Como la derivada es una lineal aproximación a los cambios en la función que tenemos poca esperanza, excepto para ver las fórmulas formado a partir de las sumas de todas las posibles cosas que pueden cambiar el resultado. Este es el multivariante regla de la cadena. Las cuentas para cada entrada en una forma completamente simétrica manera. Ok, este tipo de explicaciones no se conforma con bien conmigo. La verdadera respuesta en mi opinión es la multiplicación de la matriz. La cadena reglas realmente se caen de la multiplicación de los Jacobianos de las matrices que a su vez provienen de la cadena la regla en su forma pura $D(F \circ G) = DF \circ DG$. Pero, tal vez esta no es la intuición. Dicho esto, es mi intuición.

Answer 2

$\frac{dz}{dt}$ mide qué cambios acerca de $z$ cuando cambie $t$ un poco. Desde $z = f(x(t), y(t))$, dos cosas a la entrada de $z$ cambiar cuando cambie $t$ un poco de: $x$ cambia un poco, y $y$ cambia un poco. Ambos de estos cambios afectan a $z$ un poco. El primer término es la parte del cambio total en $z$ proveniente de $x$ cambiando, y el segundo término es la parte del cambio total en $z$ proveniente de $y$ cambiando.

Simbólicamente (escrito $\partial (-)$ de un pequeño cambio en $(-)$):

$$z + \delta z = f(x(t + \delta t), y(t + \delta t)) \approx f(x(t) + \delta x, y(t) + \delta y) \approx f(x(t), y(t)) + \frac{\partial f}{\partial x} \delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \delta y$$

donde$\delta x \approx \frac{dx}{dt} \delta t$$\delta y \approx \frac{dy}{dt} \delta t$.

La cancelación de truco es una muy mala idea; tipo de obras para el común de cálculo, pero como se puede ver que falla muy mal para el cálculo multivariable. El problema es que en derivadas parciales no se comportan nada como fracciones. Lo que realmente se comportan como son los coeficientes de la matriz (y la forma general de la regla de la cadena consiste en la multiplicación de la matriz); esto se convertirá en mucho más claro si usted toma un curso de álgebra lineal.