Sobre la integral doble.

Question

En mi libro de texto dice que el volumen entre algunos región $R$ $xy$ plano y la superficie de la $z=f(x,y)$ se puede encontrar mediante el cálculo de $$\iint_D f(x,y)~dxdy$$

sin embargo, en la página siguiente se utiliza esta fórmula para calcular el área de la $xy$ plano no un volumen bajo una superficie por qué es este el caso, no veo cómo pasan de hablar sobre el volumen para hablar acerca del área.

También dice que el volumen puede ser calculado de la siguiente manera:

$$\iiint_S dxdydz $$ but I don't understand why this is the case also I thought we needed $z=f(x,y)$ to calculate the volume not $\omega=f(x,y,z)$ as surely this would be some other quantity in $4$ dimensiones, no un volumen?

Por favor ayudarme a aclarar esto, gracias.

Answer 1

$$\iint _D 1 dxdy$$

Creo que escribir el número uno expresamente le ayudará a entender. En el caso de integrar número uno sobre una superficie, se encuentra el área de la superficie.

$$\iint _D f(x,y) dxdy$$

Si integramos $z=f(x,y)$ sobre un área, usted encontrará el volumen bajo la superficie definida por la función $z=f(x,y)$. Sin embargo este es un método restrictivo. $f(x,y)$ debe ser una función que toma un único valor para cualquier par $(x,y)$

$$\iiint _s 1 dxdydz$$

Esto hará que usted encuentre el volumen

$$\iiint _s f(x,y,z) dxdydz$$

Esto hará que se encuentran algunos de la propiedad de el volumen. Considere la densidad. "la masa por unidad de volumen". La densidad de un objeto puede ser una función de la $(x,y,z)$. Si usted integrar más de un volumen, se va a encontrar la masa total. Se puede considerar que este es el 3 dimensiones analógica de $\iint _D f(x,y) dxdy$. Llamamos a este hallazgo el volumen bajo una superficie, y lo que acabo de hacer para la densidad podría ser llamado "el descubrimiento de * la 4ª dimensión de cantidad* de un volumen"

Answer 2

Esta es una simple aplicación del teorema de Fubbini, porque$$\iiint_S 1 dxdydz = \iint_{D} \int_{0}^{f(x,y)} 1 dz dxdy = \iint_D f(x,y) dx dy$ $