La desigualdad de Markov en lanzar un justo muere n veces

Question

Estoy lanzando una buena cantidad$n$ veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números sea como máximo$2n$. Estoy haciendo esto de la siguiente manera: Encontré$\mathbb E[X] = 3.5n$ So$$\Pr[X\leq 2n] = 1 - P[X > 2n]$ $ Según la desigualdad de Markov:$$P[X>2n] \leq E[X]/2n = 3.5n/2n = 3.5/2 =1.75$ $ So$P[X \leq 2n] > 1 - 1.75 = -0.75$. No estoy seguro de a dónde voy mal? ¿Cómo una probabilidad puede ser negativa?

Answer 1

No hay nada malo en usar la desigualdad de Markov aquí. Es sólo que (ya que el límite superior calculado es mayor que uno) la desigualdad no prohíbe que$P[X\le 2n]$ tome ciertos valores per se , y por lo tanto es ineficaz en esta situación.

Answer 2

Observar que para $n$ rollos a la suma de no más de $2n$, cada uno tirada de dados sólo puede ser $1$ o $2$. Así

$$P[X\le 2n]=(1/3)^n.$$

No la desigualdad de Markov.

No hay nada de malo con su desigualdad por el camino. Usando la desigualdad de Markov, simplemente señalar que la probabilidad es acotado abajo por $-0.75$, lo cual es cierto, técnicamente!

EDIT: Se ha observado que mi primer intento en esto era erróneo. Mientras que la restricción de la die rollos a al $1$'2 y $2$s'es suficiente, no es necesario, así que lo más que podemos decir es que $$P[X\le 2n]\ge (1/3)^n.$$ Estoy tratando de calcular este completamente y actualización de nuevo pronto.