es el supr de funciones funciones mensurables?

Question

Buen día, recordando la definición: Se dice que la función$f(x)$ definida en el set$E$ es mensurable si el conjunto limitado $E$es mensurable y si el conjunto$E\cap \left \{ x:f(x)> a \right \}$ es mensurable para todos $a$.

Demuestre que el mínimo límite superior de un conjunto finito o enumerable de funciones medibles es una función medible.

¿Puedo usar este resultado? Si$f(x)$ es una función medible definida en el conjunto$E$, entonces los conjuntos$E\cap \left \{ x:f(x) \geq a \right \}$,$E\cap \left \{ x:f(x)= a \right \}$,$E\cap \left \{ x:f(x) \leq a \right \}$ son mensurables para todos$a$.

Answer 1

Usted sólo necesita demostrar que uno de ellos es medible para cada $a$. Para ello, tenga en cuenta que si $f$ es el supremum de una secuencia $(f_n)$ de las funciones, a continuación, $f(x)>a$ si y sólo si $f_n(x)>a$ algunos $n$. Por lo tanto, si cada una de las $f_n$ es medible, entonces $$ \{x : f(x) > a\} = \bigcup_{n=1}^n\{x : f_n(x)>a\}, $$ lo que muestra que $$ E\cap \{x : f(x) > a\} = E\cap\left(\bigcup_{n=1}^n\{x : f_n(x)>a\}\right) =\bigcup_{n=1}^n(E\cap \{x : f_n(x)>a\}) $$ es una contables de la unión de conjuntos medibles.

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Es importante que el supremum es asumida countably muchas funciones. Para ver por qué, vamos a $N\subseteq[0,1]$ ser un Lebesgue nonmeasurable conjunto. Entonces la función característica $1_N$ no es Lebesgue medible, pero la familia $\{1_{\{x\}} : x\in N\}$ se compone de funciones medibles y $1_N$ es su supremum.